¿Cómo puedo probar el parcial denominador de la fórmula de la Bauer-Muir transformación de una generalizada continuó fracción?

Question

Notación: $b_{0}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathbb{K}}}\left( a_{n}/b_{n}\right) $ es el Gauss Notación para generalizada fracciones continuas.

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Descripción de la Bauer-Muir transformación

(Basado en páginas 76-77 de Lisa Lorentzen y Haakon Waadeland del libro (Una), en el capítulo II, teoremas 11, y el Teorema 7; también en la sección 5 de J. Mc Laughlin, y Nancy J. Wyshinski en línea de papel (C), y la sección 5 de Bruce C. Berndt, Sen-Shan Huang, Jaebum Sohn, y Seung Hwan Hijo online de papel (B) ).

Dado convergente.c.f. $\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathbb{K}}}(a_{n}/b_{n})=\lim_{n\rightarrow \infty }A_{n}/B_{n}$ y una secuencia ${w_{n}}$ podemos construir un nuevo c.f $\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathbb{K}}}({c_{n}/d_{n}})=\lim_{n\rightarrow \infty }C_{n}/D_{n}$ (si convergente), que es su Bauer-Muir transformar con respecto a ${w_{n}}$.

Por el teorema 11, capítulo II, de Lisa Lorentzen y Haakon Waadeland del libro (Una), pp 76-77, las relaciones entre el $A_{n},B_{n}$ $C_{n},D_{n}$ están dados por:

$C_{n}=A_{n}+A_{n-1}w_{n}$, $D_{n}=B_{n}+B_{n-1}w_{n}$, con las condiciones iniciales $C_{-1}=1,D_{-1}=0.$

Si por $n\geq 1$, $\lambda_{n}=a_{n}-w_{n-1}(b_{n}+w_{n})\neq 0$, entonces

$$c_{n}=a_{n-1}\lambda_{n}/\lambda_{n-1},$$

$$d_{n}=b_{n}+w_{n}-w_{n-2}\lambda_{n}/\lambda _{n-1},$$

para $n\geq 2,$ y

$$\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathbb{K}}}(a_{n}/b_{n})=w_{0}+\dfrac{\lambda_{1}}{b_{1}+w_{1}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathbb{K}}}(c_{n}/d_{n})}.$$

Los elementos de $\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathbb{K}}}(a_{n}/b_{n})$ se calculan a través de una aplicación del Teorema 7, capítulo II, de Lisa Lorentzen y Haakon Waadeland del libro (Una), que se transforma en una secuencia en la continuación de la fracción. Yo era capaz de obtener el $c_{n}$ pero no $d_{n}$.

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Ejemplo: Aplicación a la $\log (1+t)$ expansión. Eligiendo $w_{0}=w_{1}=0,w_{n}=(n-1)t$$n\geq 2$, se puede derivar

$$\underset{n=1}{\desbordado{\infty }{\mathbb{K}}}\left( n^{2}t/\left( \left( n+1\right) -kt\right) \right) =\dfrac{t}{2+\underset{n=3}{\desbordado{\infty }{% \mathbb{K}}}\left( \left( n-2\right) ^{2}t/\a la izquierda( n-\left( n-3\right) t\right) \right) }.$$

Por lo tanto (ver Wikipedia) la expansión

$$\log (1+t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n-1}t^{n}}{n}=\dfrac{t}{1+% \underset{n=1}{\desbordado{\infty }{\mathbb{K}}}\left( n^{2}t/\left( \left( n+1\right) -nt\right) \right) },$$

puede ser mejorado con respecto a la velocidad de convergencia a este

$$\log (1+t)=\dfrac{t}{1+\dfrac{t}{2+\underset{n=3}{\desbordado{\infty }{\mathbb{% K}}}\left( \left( n-2\right) ^{2}t/\a la izquierda( n-\left( n-3\right) t\right) \right) }}.$$

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Derivación de $c_n$

Aquí es cómo conseguí $c_n$. En la página 77 de referencia se ha demostrado que

$$C_{n-1}D_n-D_{n-1}C_n=(A_{n-1}B_{n-2}-A_{n-2}B_{n-1})\lambda_n.$$

Por lo tanto

$$C_{n-2}D_{n-1}-D_{n-2}C_{n-1}=(A_{n-2}B_{n-3}-A_{n-3}B_{n-2})\lambda_{n-1}.$$

Para $n\ge 2$ Teorema 7 de la referencia de Un (derivado de la fundamental.c.f. la recurrencia) da

$$c_n=\dfrac{C_{n-1}D_n-D_{n-1}C_n}{-(C_{n-2}D_{n-1}-D_{n-2}C_{n-1})}=\dfrac{(A_{n-1}B_{n-2}-A_{n-2}B_{n-1})\lambda_n}{-(A_{n-2}B_{n-3}-A_{n-3}B_{n-2})\lambda_{n-1}}.$$

Por el determinante de la fórmula que hemos

$$A_{n-1}B_{n-2}-A_{n-2}B_{n-1}=-a_{n-1}(A_{n-2}B_{n-3}-A_{n-3}B_{n-2}).$$

Así

$$c_n=a_{n-1}\dfrac{\lambda_n}{\lambda_{n-1}}.$$

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PREGUNTA 1: ¿Cómo hace uno para probar

$$d_{n}=b_{n}+w_{n}-w_{n-2}\lambda_{n}/\lambda_{n-1}$$

de

$$d_{n}=\dfrac{C_{n}D_{n-2}-D_{n}C_{n-2}}{C_{n}D_{n-1}-D_{n}C_{n-1}}\qquad\text{for}\quad n\ge 2$$

y

$\lambda_{n}=a_{n}-w_{n-1}(b_{n}+w_{n})$, $C_{n}=A_{n}+A_{n-1}w_{n}$, $D_{n}=B_{n}+B_{n-1}w_{n}$ ?

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Referencias

A - Lisa Lorentzen y Haakon Waadeland, Fracciones continuas y Aplicaciones, North-Holland, Amsterdam, 1992. (archivo pdf de páginas 76-77)

B - Bruce C. Berndt, Sen-Shan Huang, Jaebum Sohn, y Seung Hwan Hijo, Una Transformación de la Fórmula en Rogers--Ramanujan Continuó Fracción. (sección 5)

C - J. Mc Laughlin, y Nancy J. Wyshinski, los números Reales con polinomio continuó fracción expansiones, arXiv, 2004.

Answer 1

Respuesta a la Pregunta 1:

El uso de las siguientes relaciones (en la Escalinata, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Banda II, 1957 y Sergey Khrushchev, Polinomios Ortogonales y Fracciones continuas: a Partir de Euler Punto de Vista, 2008)

$$\begin{equation} A_{n}B_{n-1}-A_{n-1}B_{n}=\left( -1\right) ^{n-1}a_{1}a_{2}\cdots a_{n} \nonumber \end{equation}$$

$$\begin{equation} A_{n}B_{n-2}-A_{n-2}B_{n}=\left( -1\right) ^{n}b_{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1} \end{equation}$$

$$\begin{equation} A_{n}B_{n-3}-A_{n-3}B_{n }=(-1)^{n-1}a_{1}a_{2}\cdots a_{n -2}\left( b_{n}b_{n-1}+a_{n}\right) \end{equation}$$

podemos derivar

$$\begin{eqnarray} &&\left( A_{n}+w_{n}A_{n-1}\right) \left( B_{n-1}+w_{n-1}B_{n-2}\right) \\ &&-\left( A_{n-1}+w_{n-1}A_{n-2}\right) \left( B_{n}+w_{n}B_{n-1}\right) \\ &=&-\left( -1\right) ^{n }a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1}\left( a_{v}-w_{n-1}\left( b_{n}+w_{n}\right) \right) \end{eqnarray}$$

y

$$\begin{eqnarray} &&\left( A_{n -1}+w_{n-1}A_{n-2}\right) \left( B_{n-2}+w_{n-2}B_{n-3}\right) \nonumber \\ &&-\left( A_{n-3}+w_{n-3}A_{\nu -3}\right) \left( B_{n-1}+w_{n-1}B_{n -2}\right) \\ &=&-\left( -1\right) ^{n -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{n-2}\left( a_{n-1}-w_{n-2}\left( b_{n-1}+w_{n-1}\right) \right) \end{eqnarray}$$

así como

$$\begin{eqnarray} &&\left( A_{n}+w_{n}A_{n-1}\right) (B_{n-2}+w_{n-2}B_{n-3}) \\ &&-(A_{n-2}+w_{n-2}A_{n-3})\left( B_{n}+w_{n}B_{n -1}\right) \\ &=&\left( -1\right) ^{n}b_{n }a_{1}a_{2}\cdots a_{n -1}+w_{n -2}(-1)^{n -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{n -2}\left( b_{n}b_{n-1}+a_{n}\right) \\ &&+w_{n}\left( -1\right) ^{n -2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1}+w_{n-2}\left( -1\right) ^{n-1}b_{n-1}a_{1}a_{2}\cdots a_{n-2} \end{eqnarray}$$

Por lo tanto

$$\begin{eqnarray*} d_{n} &=&\frac{\left( A_{n}+w_{n}A_{n-1}\right) (B_{n-2}+w_{n-2}B_{n-3})-(A_{n-2}+w_{n-2}A_{n-3})\left( B_{n}+w_{n}B_{n-1}\right) }{% (A_{n-1}+w_{n-1}A_{n-2})(B_{n-2}+w_{n-2}B_{n-3})-(A_{n-2}+w_{n-2}A_{n-3})(B_{n-1}+w_{n-1}B_{n-2})% } \\ &=&\frac{\left( -1\right) ^{n}b_{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1}+w_{n-2}(-1)^{n-1}a_{1}a_{2}\cdots a_{n-2}\left( b_{n}b_{n-1}+a_{n}\right) }{-\left( -1\right) ^{n -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{n-2}\left( a_{n-1}-w_{n-2}\left( b_{n -1}+w_{n-1}\right) \right) } \\ &&+\frac{w_{n }\left( -1\right) ^{n-2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1}+w_{n-2}\left( -1\right) ^{n-1}b_{n -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{n-2}}{% -\left( -1\right) ^{n-1}a_{1}a_{2}\cdots a_{n-2}\left( a_{v-1}-w_{n-2}\left( b_{n-1}+r_{n-1}\right) \right) } \\ &=&\dfrac{\left( b_{n}+w_{n}\right) \left( a_{n-1}-w_{n-2}(b_{n-1}+w_{n-1})\right) -w_{n-2}\left( a_{n}-w_{n-1}(b_{n}+w_{n})\right) }{a_{n-1}-w_{n-2}(b_{n-1}+w_{n-1})} \\ &=&b_{n }+w_{n}-w_{n-2}\dfrac{a_{n }-w_{n-1}(b_{n }+w_{n})}{a_{n -1}-w_{n-2}(b_{n-1}+w_{n-1})} \end{eqnarray*}$$

Esta transformación también aparece en "Die Transformación von Bauer und Muir", §7 de Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Banda II, 1957.