Orden estocástico convexo y expectativa condicional

Question

Estoy intentando aprender algo sobre el ordenamiento estocástico, una idea que acabo de recoger al leer un interesante artículo. Sean dos leyes de probabilidad $\mu$ y $\nu$ satisfacer $\int h d\mu \leq \int h d\nu$ para toda función convexa $h:[0,1]\rightarrow[0,2]$ . Entonces escribimos $\mu \leq \nu$ y esto es un orden parcial en las leyes de probabilidad. Ahora se sostiene que $\mu \leq \nu$ si y sólo si existen variables aleatorias $Z\sim \nu$ y $Y\sim \mu$ tal que $E(Z|Y)=Y$ . Mientras que la parte del if es casi trivial, la parte del only if se me escapa y sospecho que es mucho menos trivial. No he podido encontrar ningún texto útil sobre el tema. Si tienes una idea de cómo proceder o una referencia valiosa, te lo agradecería mucho. Saludos.

Answer 1

Esto no es trivial, y se ha establecido en el Teorema 6 del documento

L. Rüschendorf, Ordering of distributions and rearrangement of functions, Ann. Probab. 9 (1981), nº 2,276-283.