Diferenciación de vectores unitarios

Question

Me encontré con una identidad para diferenciar un vector unitario, sin embargo no puedo demostrarlo por lo que agradecería si alguien explicara cómo derivar la identidad. Sea $f(t)$ sea una función de valor vectorial, entonces su magnitud viene dada por $||f(t)||$ y $f(t)$ es una curva diferenciable tal que $f(t) 0$ para todos $t$ . Entonces la derivada del vector unitario viene dada por $\frac{d}{dt}\frac{f(t)}{||f(t)||}=\frac{f(t)f'(t)f(t)}{||f(t)||^3}$

También el vector tangente unitario $T(t)$ se define como: $T(t)=\frac{f'(t)}{||f'(t)||}$ y de la misma manera $T'(t)=\frac{f'(t)f''(t)f'(t)}{||f'(t)||}$ . Agradezco cualquier ayuda que me puedan proporcionar.

Answer 1

Dejemos que $f(t) = (f_1(t), \ldots, f_n(t))$ . Desde $f(t) / \|f(t)\|$ es un vector, basta con tomar la derivada de $f_i(t) / \|f(t)\|$ para cada $i$ y combinar todas estas derivadas en un vector.

Será útil observar que la regla de la cadena implica $$\frac{d}{dt} \|f(t)\| = \frac{d}{dt} \sqrt{\sum_{j=1}^n f_j(t)^2} = \frac{\sum_{j=1}^n f_j(t) f'_j(t)}{\|f(t)\|}.$$ Entonces la regla del producto (se podría utilizar de forma equivalente la regla del cociente) implica $$\frac{d}{dt} \frac{f_i(t)}{\|f(t)\|} = \frac{f_i'(t)}{\|f(t)\|} - \frac{f_i(t)}{\|f(t)\|^2} \cdot \frac{\sum_{j=1}^n f_j(t) f'_j(t)}{\|f(t)\|} = \frac{f'_i(t) \|f(t)\|^2 - f_i(t) \sum_{j=1}^n f_j(t) f'_j(t)}{\|f(t)\|^3}.$$

Esto funciona para cualquier $i$ Así que la respuesta final es $$\frac{f'(t) \|f(t)\|^2 - f(t) \sum_{j=1}^n f_j(t) f'_j(t)}{\|f(t)\|^3}$$ donde $f(t)$ y $f'(t) := (f'_1(t), \ldots, f'_n(t))$ son vectores. Supongo que el producto cruzado de tu post debería ser igual al numerador, pero no me apetece repasar eso ahora mismo.

Answer 2

Añadiendo a la respuesta de angryavian: Para el producto cruzado tenemos (ver Wikipedia)

$a \times (b \times c) = b(a\cdot c) - c(a \cdot b)$

que es exactamente la expresión mencionada si además simplificamos el numerador como

$f'(t)(f(t) \cdot f(t)) - f(t)(f(t) \cdot f'(t))$