Subesquema cerrado intersecado con afín abierto: ¿Irreductible?

Question

(A continuación suponemos que $X$ es una variedad suave sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ (en particular la suavidad $\iff$ regular). Aquí una variedad es un esquema integral separado de tipo finito).

Actualmente estoy leyendo un artículo en el que el autor hace la siguiente afirmación:

Dejemos que $Z$ sea una subvariedad cerrada y suave de $X$ de codimensión $p$ . Elija una cobertura abierta afín finita $U_\alpha$ de $X$ y una secuencia regular $f_{\alpha 1}, \dots, f_{\alpha p} \in \mathcal O_X(U_\alpha)$ tal que $Z \cap U_\alpha$ se define por el ideal $(f_{\alpha 1}, \dots, f_{\alpha p})$ . Podemos suponer que $Z \cap U_\alpha$ es irreducible.

Me pregunto sobre la última frase. En primer lugar, $Z \cap U_\alpha$ no tiene que ser irreductible. Sin embargo no veo cómo podemos reducir a ese caso y al mismo tiempo mantener la propiedad de tener la secuencia regular. Tal vez no estoy viendo algo obvio aquí.

¿Alguien puede ayudar tal vez? Gracias de antemano.

Answer 1

Esto se presenta tal vez un poco fuera de orden - la parte sobre la irreductibilidad tal vez sea más natural demostrarla primero. Primero mostramos que, dada cualquier cobertura, se puede encontrar un refinamiento con $U_\alpha$ afín y $U_\alpha\cap Z$ irreducible, entonces mostramos que uno puede encontrar secuencias regulares apropiadas (después de quizás refinar nuestra cobertura).

Un punto importante es que para las variedades lisas, las componentes irreducibles son componentes conectadas. Por lo tanto, como $Z$ tiene un número finito de componentes irreducibles/conectados hay un recubrimiento finito de $X$ por conjuntos abiertos de manera que cada conjunto abierto sólo intersecte un componente de $Z$ : si $Z=\bigcup Z_i$ entonces $\hat{Z}_i := X\setminus \left(\bigcup_{i\neq j} Z_i\right)$ es una cubierta abierta. Al tomar los refinamientos comunes con el $\hat{Z}_i$ se puede suponer que cualquier cubierta abierta finita sólo interseca cada componente de $Z$ una vez. A partir de aquí, podemos refinar aún más esta cobertura tomando una cobertura abierta afín finita de cada $\hat{Z}_i$ por lo que nos encontramos en la situación de tener una cubierta abierta afín de $X$ de manera que cada conjunto de nuestra cobertura intersecte como máximo un componente irreducible de $Z$ . Ahora bien, como todo subconjunto abierto de una variedad irreducible es irreducible, vemos que $U_\alpha\cap Z = U_\alpha\cap Z_i$ también es irreducible.

Ahora nos ocupamos de la secuencia regular. El punto aquí es que en cualquier esquema, un subesquema cerrado irreducible de codimensión $p$ puede no ser cortado por una secuencia regular de la longitud adecuada, pero esto es cierto a nivel de tallos (por definición de regularidad, esencialmente). Así que podemos elegir un recubrimiento afín de nuestro esquema para que esto sea cierto en cada elemento del recubrimiento. Ahora ya hemos terminado.