Demostrar que $\frac{1+\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta}=\sin\theta+i\cos\theta$

Question

Demostrar que $$\frac{1+\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta}=\sin\theta+i\cos\theta$$

He intentado racionalizar el denominador pero siempre me sale una fracción grande que no se cancela. ¿Hay algo que se me escapa?

Gracias de antemano

Answer 1

Dejemos que $\phi=\pi/2-\theta$ . Entonces $$\frac{1+\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta} =\frac{1+\cos\phi+i\sin\phi}{1+\cos\phi-i\sin\phi}=\frac{1+e^{i\phi}} {1+e^{-i\phi}}$$ y $$\sin\theta+i\cos\theta=\cos\phi+i\sin\phi=e^{i\phi}$$ etc.

Answer 2

Escribir $$\frac{(1+\sin(\theta)+i\cos(\theta))^2}{(1+\sin(\theta)-i\cos(\theta))(1+\sin(\theta)+i\sin(\theta))}$$ simplificando el denominador obtenemos $$1+\sin^2(\theta)+2\sin(\theta)-\cos^2(\theta)+2i(1+\sin(\theta))\cos(\theta)$$ y el denominador $$1+\sin^2(\theta)+2\sin(\theta)-\cos^2(\theta)=2(1+\sin(\theta)-\cos^2(\theta))$$

Answer 3

Considera que

$$ \sin\theta+i\cos\theta=ie^{-i\theta}\\ \sin\theta-i\cos\theta=-ie^{i\theta} $$

Entonces, ¿se

$$\frac{1+ie^{-i\theta}}{1-ie^{i\theta}}=ie^{-i\theta}\\ \text{or}\\ 1+ie^{-i\theta}=ie^{-i\theta}(1-ie^{i\theta})=ie^{-i\theta}+1 $$

SÍ, como estaba por determinar.