Demostrar que $\frac{1+\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta}=\sin\theta+i\cos\theta$

Question

Demostrar que $$\frac{1+\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta}=\sin\theta+i\cos\theta$$

He intentado racionalizar el denominador pero siempre me sale una fracción grande que no se cancela. ¿Hay algo que se me escapa?

Gracias de antemano

Answer 1

Se trata simplemente de observar que $$\begin{align}(1+\sin\theta-i\cos\theta)(\sin\theta+i\cos\theta)&=\sin\theta+\sin^2\theta+\cos^2\theta+i(\cos\theta+\sin\theta\cos\theta-\cos\theta\sin\theta)\\&=1+\sin\theta+i\cos\theta.\end{align}$$

Answer 2

$(e^{j*0} + e^{-j*\theta})*e^{j*\theta} = 1 + e^{j*\theta}$

Mucho más sencillo sería convertir a coordenadas polares.

Answer 3

$$\frac{1+\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta}=\frac{2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)+2i\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)-2i\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)}=$$ $$=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)-i\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)}=\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)\right)^2=\sin\theta+i\cos\theta.$$ Utilicé $$1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2};$$ $$\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$$ y $$\sin\alpha=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right).$$

Answer 4

Dejemos que $z=\sin\theta+i\cos\theta.\;$ Entonces $\bar{z}=\sin\theta-i\cos\theta.\;$ Ahora $z\bar{z}=\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.$ Así, $(1+\sin\theta+i\cos\theta)/(1+\sin\theta-i\cos\theta)=( 1+z)/(z\bar{z}+\bar{z})=(1+z)/(\bar{z}(z+1))=z.$

Answer 5

Lo sabemos, $\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$ y $a^2-b^2=(a-b)(a+b$ entonces $$\begin{split} \frac{1+\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta} &= &\frac{\color{red}{\sin^2\theta+\cos^2\theta} +\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta} \qquad\quad\\\\&=& \frac{\color{red}{\sin^2\theta+(-i\cos\theta)(i\cos\theta)} +\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta} \\ \\ &=&\frac{\color{red}{[\sin^2\theta- (i\cos\theta)^2]}+\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta} \\\qquad~~~\qquad\\&=&\frac{\color{red}{(\sin\theta +i\cos\theta)(\sin\theta- i\cos\theta)}+\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta} \\\\&=&(\sin\theta +i\cos\theta)\frac{1+\sin\theta- i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta} \\&=&(\sin\theta +i\cos\theta) \end{split}$$