Para una función analítica $f(z)$ , $|f(z)^2-1|<1$ implica $\Re f(z)>0$ o $\Re f(z)<0$ ?

Question

Haciendo un poco de auto-estudio, y estoy inseguro acerca de un problema. Dice,

Supongamos que $f(z)$ (una función de valor complejo) es analítica y cumple la condición $|f(z)^2-1|<1$ en una región $\Omega$ . Demuestre que $\Re f(z)>0$ o $\Re f(z)<0$ en todo $\Omega$ .

Escribo $f=u+iv$ y suponer por el contrario que $\Re f(z)=0$ en algún momento $z_0$ . Entonces $f(z_0)^2=-v(z_0)^2$ . Pero $v$ tiene valor real, por lo que $$ |f(z_0)^2-1|=|-v(z_0)^2-1|\geq 1 $$ una contradicción.

Lo que me inquieta es que no veo si usé ese hecho que $f$ es analítica. ¿He interpretado correctamente la pregunta, o quería decir que $\Re f(z)>0$ en todos $\Omega$ o $\Re f(z)<0$ en todos $\Omega$ ¿pero no toma valores positivos y negativos? Gracias.

Answer 1

No creo que $f$ ni siquiera necesita ser analítica, sólo continua en $\Omega$ . En cualquier caso, creo que la última interpretación que planteas es la correcta: el problema quiere un o sobre todos de $\Omega$ es decir

$$\left(\;\forall z\in\Omega:\operatorname{Re} f>0 \;\right)\text{ or }\left(\;\forall z\in\Omega:\operatorname{Re} f<0 \;\right).$$

No es mucho más trabajo del que ya has hecho. Has demostrado que la parte real no puede ser cero; ahora supone que hay dos argumentos $z$ y $w$ en $\Omega$ con $\operatorname{Re} f(z)<0<\operatorname{Re}f(w)$ . Desde $\Omega$ está conectado, hay un camino que va desde $z$ a $w$ contenida en $\Omega$ . Considere cómo $\operatorname{Re}f$ mira por este camino...

Answer 2

Sea $D$ sea el disco abierto centrado en $1$ y con radio $1$ y que $D'=\{w:w^2\in D\}$ . Desde $f(z)^2\in D$ para todos $z\in\Omega$ , $f(z)\in D'$ . ¿Qué sabemos sobre $D'$ ? Los dos hechos siguientes son fáciles de demostrar:

1. $D'$ es simétrica con respecto al eje imaginario;
2. ningún punto del eje imaginario está en $D'$ .

Así, $\{w\in D':\Re z>0\}\ $ y $\{w\in D':\Re z<0\}\ $ están desconectados; puesto que $f(\Omega)$ está conectado, debe estar contenido en uno de ellos.

De hecho, $D'$ es el interior de un lemniscate .