El hecho de que un anillo conmutativo tenga asociado un espacio topológico natural sigue siendo una coincidencia realmente interesante. Todo el tema de la geometría algebraica se basa en este simple hecho.
Pregunta: ¿Existen otras categorías de objetos algebraicos que tengan topologías naturales interesantes que lleven datos algebraicos como la topología de Zariski en un anillo (espectro)? Si existen, ¿cuáles son y cómo se utilizan?
¿llevar datos algebraicos como la topología de Zariski en un anillo (espectro)? Si existen, ¿qué son y cómo se utilizan?
En la teoría de modelos definen y estudian los "datos algebraicos como la topología de Zariski Independientemente de ello de donde provienen estos datos. Estos datos se denominan Geometrías Zariski y, por ejemplo, admiten algo de teoría de intersección, pueden utilizarse para demostrar el lema de Chow, admiten algunos resultados de clasificación en dim 1, etc. Puede que quieras echar un vistazo a el reciente libro de Geometrías Zariski y sus referencias (o el propio libro Zariski Geometries : Geometría desde el punto de vista del lógico, de Boris Zilber).
Además, el libro tiene algunos ejemplos que a veces necesitan ser trabajados.
Dada una clase de teoría de grupos $\mathfrak{X}$ (por ejemplo, grupos finitos, grupos solubles, etc.), a cada grupo $G$ se puede asociar el pro- $\mathfrak{X}$ topología en $G$ tomando como base de vecindades de la identidad la colección de subgrupos normales $N$ de $G$ para el que el grupo cociente $G/N$ pertenece a $\mathfrak{X}$ . Un grupo es residualmente un $\mathfrak{X}$ -precisamente cuando esta topología es Hausdorff. (Para obtener una topología real, $\mathfrak{X}$ tiene que ser hereditario y cerrado bajo productos directos (finitos)).
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