El hecho de que un anillo conmutativo tenga asociado un espacio topológico natural sigue siendo una coincidencia realmente interesante. Todo el tema de la geometría algebraica se basa en este simple hecho.
Pregunta: ¿Existen otras categorías de objetos algebraicos que tengan topologías naturales interesantes que lleven datos algebraicos como la topología de Zariski en un anillo (espectro)? Si existen, ¿cuáles son y cómo se utilizan?
Sí, hay muchas cosas así.
[En lo que sigue, "compacto" implica "localmente compacto" implica "Hausdorff"].
1) A un álgebra booleana se le asocia su espacio de Stone, un espacio compacto totalmente desconectado.
(A través de la correspondencia entre las álgebras booleanas y los anillos booleanos, se trata de un caso especial de la topología de Zariski -pero con un sabor distintivo- que es anterior a ella).
2) A un anillo booleano no unitario se le asocia su espacio de Stone, un espacio localmente compacto totalmente desconectado.
3) A un álgebra C* conmutativa con unidad, se le asocia su espectro de Gelfand, un espacio compacto.
4) A un álgebra C* conmutativa sin unidad, se le asocia su espectro de Gelfand, un espacio localmente compacto.
6) A un anillo de Banach conmutativo [o a un esquema sobre un campo no arquimédico, o...] se le asocia su espectro de Berkovich (los seminormales multiplicativos acotados).
7) A un anillo conmutativo R se le asocia su espectro real (ideales primos, más ordenamientos en el dominio de los residuos).
8) A una extensión de campo K/k, se le asocia su superficie de Zariski Riemann (clases de equivalencia de valoraciones sobre K que son triviales sobre k).
Esta no es en absoluto una lista completa...
Apéndice : No había abordado la segunda parte de tu pregunta, es decir, explicar para qué se utilizan estas cosas. Brevemente, la analogía con el espectro de Zariski de un anillo conmutativo es lo suficientemente estrecha como para dar la impresión correcta de la utilidad de estos otros espectros/espacios: son espacios topológicos asociados (cofunctorialmente) a los objetos algebraicos (o algebraico-geométricos, algebraico topológicos, etc.) en cuestión. Llevan suficiente información para ser útiles en el estudio de los propios objetos algebraicos (a veces, por ejemplo, en el caso de los espacios de Stone y Gelfand, dan información completa, es decir, una antiequivalencia de categorías, pero no siempre). En algunos casos más, se puede obtener la antiequivalencia añadiendo más estructura de una manera muy familiar: se pueden adjuntar gavillas de estructura a estos tipos y obtener así una clase de "espacios modelo" para una determinada especie de espacios localmente anillados --por ejemplo, los espectros de Berkovich se pegan para dar espacios analíticos de Berkovich.
El $I$ -topología de un anillo conmutativo $A$ (con unidad), donde $I$ es un ideal de $A$ . Los conjuntos cerrados son intersecciones de uniones finitas de conjuntos de la forma $a+I^n$ con $a\in A$ y $n\in\mathbb{N}$ (donde $\mathbb{N}$ incluye $0$ ). Esta topología tiene muchas propiedades triviales pero muy útiles como: El anillo $A$ está separada (=Hausdorff) con respecto a esta topología si y sólo si $\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I^n=0$ . El ejemplo más importante es el anillo de polinomios $A=B\left[X_1,X_2,...,X_n\right]$ con el ideal $I=\left(X_1,X_2,...,X_n\right)$ . Éste está separado, pero no completo. Su terminación es el anillo de series de potencia $B\left[\left[X_1,X_2,...,X_n\right]\right]$ . Ver Notas de Szamuely sobre el álgebra local para saber más sobre esta topología.
Este es probablemente el ejemplo más elemental de una topología en álgebra. Creo que El libro de Szamuely tiene otros más avanzados.
A cualquier estructura de primer orden se le puede asociar una topología tipo Zariski, aproximadamente tomando como conjuntos cerrados los subconjuntos definibles por fórmulas sin negación, véase por ejemplo aquí y en el artículo enlazado allí.
Si la estructura de primer orden es un campo algebraicamente cerrado donde se interpreta el lenguaje de los anillos se obtiene de nuevo la topología de Zariski.
Preguntas interesantes. En realidad, esto está relacionado con el trabajo de definición de una topología natural sobre categorías, que forma parte de la geometría algebraica no conmutativa.
A. Rosenberg definió el espectro de la izquierda para un anillo no conmutativo en 1981 (véase El espectro izquierdo, el radical de Levitzki y los esquemas no conmutativos ), y además generalizó este espectro a cualquier categoría abeliana (véase reconstrucción de esquemas ), y demostró el llamado teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg, que condujo a la definición correcta de esquema no conmutativo. Puede que tenga tiempo para hablar de esto más adelante. Pero por ahora, me limitaré a señalar algunos trabajos, como Espectros de espacios no conmutativos .
En este trabajo, Rosenberg toma una categoría abeliana como un "espacio no conmutativo" y define varios espectros para diferentes objetivos. ( UN destino notable es la teoría de la representación de las álgebras de Lie y los grupos cuánticos. )
No sólo se puede definir el espectro para las categorías abelianas; esta noción también tiene sentido en una categoría no abeliana y en una categoría triangulada. En el documento Espectros relacionados con las localizaciones En el año 2000, Rosenberg definió el espectro directamente relacionado con la localización de las categorías. A grandes rasgos, el espectro de una categoría es una familia de subcategorías topologizantes (que, por definición, son cerradas bajo suma directa, sub y cociente; en particular, subcategorías gruesas o de Serre) que satisfacen algunas condiciones adicionales.
También hay otro documento, Espacios subyacentes de esquemas no conmutativos , tratando de investigar el espacio subyacente de un esquema no conmutativo u otro "espacio" no conmutativo en la geometría algebraica no conmutativa. Si queremos salvar el descenso plano en general, podríamos perder la propiedad de cambio de base. En este trabajo, Rosenberg se ocupa de la "cuasi-topología" (lo que significa dejar de lado la propiedad de cambio de base) y define el espectro asociativo de una categoría. Además: para los objetivos de la teoría de la representación, construyó un marco relacionando la teoría de la representación con el espectro de la categoría abeliana (en particular, las categorías de módulos). En realidad, en este lenguaje, las representaciones irreducibles están en correspondencia uno a uno con los puntos cerrados del espectro; los puntos genéricos del espectro también producen representaciones (no necesariamente irreducibles).
La parte más importante de este trabajo es que proporcionó una forma completamente categórica (algebraica-geométrica) de hacer la inducción en una categoría abeliana en lugar de la categoría derivada. (Lo explicaré más adelante si tengo tiempo). Este semestre, Rosenberg nos dio un curso de conferencias, utilizando este marco para calcular todas las representaciones irreducibles para el álgebra de Weyl, el álgebra envolvente, álgebras envolventes cuantizadas, álgebras de operadores diferenciales, $SL\_2({\mathbb R})$ y otros grupos algebraicos, o álgebras asociativas relacionadas. Funciona de forma muy eficiente. Por ejemplo, el cálculo de representaciones irreducibles de $U(sl_3)$ se cree que es muy complicado, pero utilizando este marco del espectro, se vuelve mucho más sencillo.
El marco general de las mismas se encuentra en el documento Espectros, puntos asociados y teoría de la representación . Si quiere ver algunos ejemplos concretos de uso de esta máquina, debería consultar el viejo libro de Rosenberg Geometría algebraica no conmutativa y representaciones de álgebras cuantizadas . Hay otro documento Espectros de "espacios" representados por categorías abelianas que proporciona la teoría general de esta maquinaria.
Además, podemos definir el espectro para un categoría exacta ; incluso de forma más general, para cualquier sitio de Grothendieck, y así para cualquier categoría (porque cualquier categoría tiene una pretopología canónica de Grothendieck). Rosenberg tiene un trabajo reciente que define el espectro para tales categorías -- Geometría de los "espacios" exactos correctos -- la motivación principal de este trabajo es proporcionar un antecedente de la teoría K algebraica universal superior para un categoría exacta correcta (una categoría con una familia de epimorfismos estrictos puede tomarse como una categoría exacta unilateral). Una motivación más importante es el estudio de los ciclos algebraicos para los esquemas no conmutativos. (Advertencia: este documento es muy abstracto y difícil de leer. Repasaremos este documento en el curso lectivo de este semestre).
Todas estas cosas aparecerán pronto en su nuevo libro con Konstevich (pero no estoy seguro del momento exacto). Si tengo suficiente tiempo para postear, explicaré con más detalle, cómo la teoría del espectro para categorías abelianas entra en la teoría de la representación, y cómo esta imagen está relacionada con la imagen derivada de Beilinson-Bernstein y Deligne. De hecho, hoy acabamos de aprender el teorema de Beck para las categorías trianguladas de Karoubian y más tarde haremos la versión DG del teorema de Beck. Y luego introducirá el espectro para categorías trianguladas, y explicará los hechos de geometría algebraica no conmutativa detrás de la máquina BBD y la conexión con su máquina abeliana.
Los grupos finitos interesantes tienden a tener geometrías inherentes interesantes (al igual que el estabilizador de órbita convierte las acciones externas en acciones internas, ideas similares convierten muchas geometrías externas en geometrías de conjuntos). La geometría inducida por la conjugación en los p-subgrupos de Sylow es importante para todos los grupos finitos, y resulta que describe el espacio clasificatorio (p-completo) del grupo.
La geometría siempre ha sido una parte importante de la teoría de grupos. Los grupos de Zassenhaus y los grupos de triple transitivo agudo suelen tener un plano afín o proyectivo subyacente sobre el que actúan. Las primeras investigaciones de estos grupos de permutación especiales en los años 30 condujeron a parte del desarrollo sistemático de la geometría finita sobre cosas distintas de los campos. Se puede recuperar la estructura algebraica de algo como un anillo a partir de la acción de permutación del grupo (a menudo sobre un subgrupo regular). El libro de texto de M. Hall Jr. sobre la teoría de los grupos contiene una buena exposición de estas ideas.
Por supuesto, los grupos finitos de tipo Lie que actúan sobre sus subgrupos de Borel también definen geometrías importantes, denominadas a grandes rasgos "edificios", de los que existen numerosas referencias. Esto se convirtió en una forma muy popular de entender los grupos no esporádicos. Estos grupos de tipo Lie tienen otras bonitas acciones, a menudo sobre interesantes geometrías finitas llamadas polígonos generalizados.
La gente de la homotopía equivariante se dio cuenta de que algunas de estas geometrías son casi suficientes para definir un espacio clasificatorio del grupo, junto con una buena descomposición de su anillo de cohomología. El libro de D. Benson y S.D. Smith sobre Classifying Spaces of Sporadic Simple Groups ( MR2378355 ) describe estas técnicas con un sentido razonablemente algebraico. Salvo algunos detalles, se trata de los sistemas de fusión que Scott Carnahan mencionó en un hilo anterior, MO5659 . Estas geometrías se investigaron para proporcionar un análogo más natural de los edificios para los grupos esporádicos.
En realidad, supongo que se podría pensar que los propios espacios clasificatorios están naturalmente asociados a grupos finitos.
Editar: Pensé que podría ser útil señalar las similitudes con la topología de Zariski: La topología de Zariski básicamente codifica cómo se cruzan los ideales primos. La fusión de un grupo finito codifica cómo se cruzan los subgrupos de Sylow. La fusión fuerte no sólo controla las intersecciones, sino también los mapas (G-internos) entre esas intersecciones, de modo que la fusión se convierte en una categoría. Dado que la fusión controla la cohomología, parecía natural observar cómo la fusión describe el espacio clasificatorio de un grupo. Sorprendentemente, hace un gran trabajo al describir la p-compleción del espacio clasificador y facilita cálculos bastante directos. En otras palabras, los datos codificados por los "subgrupos primos" (subgrupos Sylow p) también codifican un espacio topológico natural asociado al grupo, su espacio clasificador (p-completado).
Varias áreas de la combinatoria, como ciertas partes de la teoría de grafos y la geometría finita, también parecen basarse en el simple hecho de que los grupos interesantes tienen geometrías interesantes. Una reciente clasificación de los sistemas triples de Steiner se ha realizado a partir de clasificaciones detalladas de los grupos simples finitos y de los grupos de permutación multitransitiva, y varias familias de grafos son interesantes por sus grupos de automorfismo.
Espero que quede claro también que separar un grupo de sus acciones no es sensato. Las acciones de un grupo están codificadas por las clases de conjugación de sus subgrupos, y son totalmente internas. La mayoría de las geometrías asociadas a los grupos también son internas. Esta es básicamente la razón por la que la clasificación de los grupos simples finitos puede tener éxito: la acción natural de un grupo ya está contenida en su interior de una manera fácil de describir, de modo que una vez que la estructura local de un grupo es lo suficientemente similar a un grupo conocido, el propio grupo es isomorfo a un grupo conocido.
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