Dejemos que $R$ ser un perfecto $\mathbb{F}_p$ -álgebra y escribir $W(R)$ para el anillo de Witt [es decir, el anillo de Vectores Witt -- PLC] en $R$ . Quiero saber cuánto podemos deducir sobre $\text{Spec } W(R)$ desde el conocimiento de $\text{Spec } R$ . Me interesa especialmente el caso de que $R$ es un dominio.
Supongamos que $R$ es un campo. Entonces no es difícil ver que $W(R)$ es un DVR, por lo que en este caso la respuesta es completamente conocida. Para un $R$ , proyecciones $R \rightarrow R/\mathfrak{p}$ elevación a las proyecciones $W(R) \rightarrow W(R/\mathfrak{p})$ y como este último es un dominio, obtenemos una copia del espectro de $R$ dentro del espectro de $W(R)$ .
Sin embargo, a veces hay primos adicionales en el espectro de $W(R)$ ¡! Este es el caso que motivó mi pregunta. (Estos anillos surgen en el estudio de $(\phi, \Gamma)$ -módulos y en la construcción de los anillos de períodos de Fontaine). Sea $R$ ser la "perfección" de $\mathcal{O}_{\mathbb{C}_p}/p$ . Es decir, $R$ es el conjunto de secuencias $(x_i)$ , $i \geq 0$ donde cada $x_i \in \mathcal{O}_{\mathbb{C}_p}/p$ y $x_i^{p} = x_{i-1}$ . Tenga en cuenta que $R$ es un anillo de valoración (¡no discreto!); reduciendo mod el ideal máximo de $\mathcal{O}_{\mathbb{C}_p}$ y proyectando a la primera componente se obtiene una suryección a $\overline{\mathbb{F}_p}$ . No es difícil mostrar $R$ es un dominio.
Hay tres ideales principales obvios. Primero, como antes, está el ideal primo $(p)$ el núcleo de la suryección $W(R) \rightarrow R$ . Además, la propiedad universal de los vectores de Witt da un mapa $W(R) \rightarrow W(\overline{\mathbb{F}_p}) = \widehat{\mathcal{O}_{\mathbb{Q}_p^{ur}}}$ cuyo núcleo es un primo. Finalmente está el ideal máximo, que es el núcleo de $W(R) \rightarrow R \rightarrow \overline{\mathbb{F}_p}$ . Para hallarlas sólo hemos utilizado un razonamiento abstracto sobre los vectores de Witt.
¡Pero hay un cuarto ideal primordial! Resulta que hay una suryección $\theta: W(R) \rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{C}_p}$ que es fundamental para construir los anillos de Fontaine. La existencia de $\theta$ no puede deducirse de la propiedad universal de los vectores de Witt, ya que $\mathcal{O}_{\mathbb{C}_p}$ no es un estricto $p$ -Anillo. En la literatura, todas las pruebas que $\theta$ es un homomorfismo "mira debajo del capó" y piensa realmente en la suma y multiplicación de los vectores de Witt. ¿Se puede abstraer esto? Es decir, ¿hay una manera de saber qué primos "extra" obtendremos en $W(R)$ , sólo por saber $R$ ?
