Verificación de la prueba: Demostrar que todo espacio compacto metrizable tiene una base contable

Question

Se agradecería que alguien revisara mi prueba para comprobar su exactitud. Gracias.

Demuestre que todo espacio compacto metrizable tiene una base contable

Prueba:

Sea X un espacio compacto metrizable. Entonces sea d una métrica que induce la topología sobre X. Sea A $_n$ = { B $_d$ (x,1 \n ) | x $\in$ X, n $\in$ Z $_+$ }. Entonces cada A $_n$ es un recubrimiento abierto de X. Como X es compacto, cada A $_n$ tiene un subcubrimiento finito, llamemos a este subcubrimiento A $'$$ _n$ .

Entonces $B'$ = $\bigcup$ A $'$$ _n$ es un conjunto contable ya que es la unión contable de conjuntos finitos. $B'$ es también nuestra base contable deseada ya que:

Dada la base original e incontable, $B$ tenemos que para cualquier elemento de base $B_i$ $\in$ $B$ y para cualquier x $\in$ $B_i$ Debe haber algo abierto $\epsilon$ -tal que B(x, $\epsilon$ ) $\subset$ $B_i$ .

Ahora podemos tomar $N$ tal que 1/ $N$ $\lt$ $\epsilon$ /2. Entonces para todo $A'_n$ para n $\gt$ N tenemos que cada $A'_n$ debe ser una cobertura abierta de X y, por tanto, debe tener alguna bola abierta centrada en algún y $\in$ X tal que x $\in$ B(y,1/n). Entonces B(y,1/n) $\subset$ $B_i$ ya que supongamos que algún z $\in$ X - $B_i$ estaba contenido en B(y,1/n). Entonces tendríamos:

$$ d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) $$ $$ = d(x,z) \lt \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon $$

Pero B(x, $\epsilon$ ) fue elegida para estar completamente contenida en $B_i$ . Por tanto, z no puede ser un elemento de B(x, $\epsilon$ ), por lo que tenemos una contradicción y por tanto z no puede ser un elemento de B(y,1/n). Por tanto, B(y,1/n) $\subset$ $B_i$ .

Así que, $B'$ es más fina que la base original $B$ . La inclusión inversa es clara ya que la colección de $\epsilon$ bolas para $\epsilon$ $\lt$ 1 forman una base equivalente para X. Estos $\epsilon$ bolas están claramente contenidas en nuestra propuesta de base contable $B'$ .

Por lo tanto, $B'$ es una base contable para X.

Answer 1

No entiendo por qué usas el original $B$ . Tienes que demostrar que $\bigcup_nA'_n$ es una base. Esto equivale a decir que para cada subconjunto abierto $U$ y $x\in U$ existe $n$ tal que $x\in B(x_n,1/n)$ donde $B(x_n,1/n)$ es un elemento de $A'_n$ y $B(x_n,1/n)\subset U$ .

Para demostrar que desde $U$ es abierto, existe $r>0$ tal que $B(x,r)\subset U$ , toma ${1\over{n}}<{r\over 4}$ . Existe $B(x_n,1/n)$ tal que $x\in B(x_n,1/n)$ . Para cada $y\in B(x_n,1/n)$ , $d(x,y)\leq d(x,x_n)+d(x_n,y)\leq {2\over n}<r/2$ desde ${1\over n}<{r\over 4}$ Deducimos que $y\in B(x,r)$ y $B(x_n,1/n)\subset B(x,r)\subset U$ .