Definición teórica de los números

Question

Estoy leyendo el libro de Goldrei sobre la teoría clásica de conjuntos. Mi pregunta es más bien una aclaración. Es sobre si estamos sobrecargando los símbolos en algunos casos. Por ejemplo, cuando definimos $2$ como un número natural, definimos $$2_{\mathbb{N}} = \{\emptyset,\{\emptyset\} \}$$ Cuando definimos $2$ como un número entero, $2_{\mathbb{Z}}$ es una clase de equivalencia de pares ordenados $$2_{\mathbb{Z}} = \{(n+_{\mathbb{N}}2_{\mathbb{N}},n):n \in \mathbb{N}\}$$ Del mismo modo, cuando definimos $2$ como un número racional, $2_{\mathbb{Q}}$ es una clase de equivalencia de pares ordenados $$2_{\mathbb{Q}} = \{(a \times_{\mathbb{Z}} 2_{\mathbb{Z}},a):a \in \mathbb{Z}\backslash\{0\}\}$$ y como número real lo definimos como el corte Dedekind izquierdo de los racionales menores que $2_{\mathbb{Q}}$ es decir $$2_{\mathbb{R}} = \{q \in \mathbb{Q}: q <_{\mathbb{Q}} 2_{\mathbb{Q}}\}$$

La aclaración es que cada uno de los anteriores son objetos diferentes ¿no? Así que cuando decimos $2$ ¿depende del contexto? Además, si lo anterior es cierto, ¿es correcto o incorrecto decir que "El conjunto de los números naturales es un subconjunto de los reales"? ¿Debemos tomar la afirmación con una pizca de sal y entenderla en consecuencia?

Answer 1

Sí. Y no.

Se comienza con $\mathbb{N}$ y definir $+$ y $\times$ (y $\lt$ etc.) de forma adecuada.

Entonces se define una relación de equivalencia en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ dado por $$(a,b)\sim(c,d) \Longleftrightarrow a+d=b+c,$$ y llamamos al conjunto cociente $(\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\sim$ por el nombre $\mathbb{Z}$ . (Entre bastidores, estamos pensando en $(a,b)$ como "la solución a $a=x+b$ ").

Podemos entonces definir una adición $+_{\mathbb{Z}}$ y un producto $\times_{\mathbb{Z}}$ en $\mathbb{Z}$ así como una orden $\leq_{\mathbb{Z}}$ por $$\begin{array}{rcl} [(a,b)]+_{\mathbb{Z}}[(c,d)] &=& [(a+c,b+d)]\\\ [(a,b)]\times_{\mathbb{Z}}[(c,d)] &=& [(ac+bd,ad+bc)]\\\ [(a,b)] \leq_{\mathbb{Z}} [(c,d)] &\Leftrightarrow& a+d\leq b+c, \end{array}$$ y demostrar que está bien definida. (Estoy utilizando $[(a,b)]$ para denotar la clase de equivalencia del par $(a,b)$ .

Ciertamente, $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$ son animales completamente diferentes; en teoría de conjuntos, incluso se puede demostrar que son disjuntos.

Pero podemos definir un mapa $f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ por $f(n) = [(n,0)]$ . Este mapa es uno a uno, y para todo $n,m\in\mathbb{N}$ , $$\begin{array}{rcl} f(n+m) &=& f(n)+_{\mathbb{Z}}f(m),\\\ f(n\times m) &=& f(n)\times_{\mathbb{Z}}f(m)\\\ n\leq m &\Leftrightarrow& f(n)\leq_{\mathbb{Z}} f(m) \end{array}$$ Esto significa que aunque $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$ son disjuntos, existe una "copia perfecta" de $\mathbb{N}$ (en la medida en que sus operaciones $+$ y $\times$ y en lo que respecta a la orden $\leq$ se refiere) sentado dentro de $\mathbb{Z}$ . ( Añadido: De hecho, este $f$ no sólo nos da una copia perfecta, sino que es la sólo mapa de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ que es uno a uno y respeta todas las operaciones; decimos que es una "incrustación canónica"). Como tenemos esta copia perfecta, y un mapa muy concreto que identifica esta copia con el original, podemos pensar en $\mathbb{N}$ como un subconjunto de $\mathbb{Z}$ al "identificarlo con su copia". Así que lo hacemos. Entonces podemos introducir la notación mostrando que para cada $[(a,b)]\in\mathbb{Z}$ , ya sea $a=b$ o existe $n\in\mathbb{N}$ , $n\neq 0$ , de tal manera que $[(a,b)]=f(n)=[(n,0)]$ o existe $n\in\mathbb{N}$ , $n\neq 0$ , de tal manera que $[(b,a)]=f(n)=[(n,0)]$ y luego usar $0$ para denotar la clase con $a=b$ , $n$ para denotar la clase con $[(a,b)]=[(n,0)]$ y $-n$ para denotar la clase $[(c,d)]$ con $[(d,c)]=[(n,0)]$ . Esta notación hace que la identificación sea más clara.

Del mismo modo, una vez que tenemos $\mathbb{Z}$ definimos $\mathbb{Q}$ como el cociente de $\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\}$ modulo $\cong$ , donde $$(a,b)\cong (c,d) \Longleftrightarrow ad=bc$$ (entre bastidores, pensamos en $(a,b)$ como "la solución a $a=xb$ "). Podemos entonces proceder como antes, definiendo $$\begin{array}{rcl} [(a,b)]+_{\mathbb{Q}}[(c,d)] &=& [(ad+bc,bd)]\\\ [(a,b)]\times_{\mathbb{Q}}[(c,d)] &=& [(ac,bd)] \end{array}$$ y mostrar que esto está bien definido; definir un orden, etc. De nuevo, $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}$ (y el original $\mathbb{N}$ ) son completamente diferentes establece . Pero tenemos una función $g\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ definido por $g(a) = [(a,1)]$ . Esto es uno a uno, $g(a+_{\mathbb{Z}}b) = g(a)+_{\mathbb{Q}}g(b)$ y $g(a\times_{\mathbb{Z}}b) = g(a)\times_{\mathbb{Q}}g(b)$ . ( Añadido: Y de nuevo, este es el sólo mapa de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$ que satisfaga estas condiciones). Así que, de nuevo, tenemos una "copia perfecta" de $\mathbb{Z}$ sentado dentro de $\mathbb{Q}$ (y por tanto también una copia perfecta de la copia perfecta de $\mathbb{N}$ que se encuentra dentro de $\mathbb{Z}$ ). Así que una vez más "identificamos" $\mathbb{Z}$ con su imagen dentro $\mathbb{Q}$ (y así identificamos $\mathbb{N}$ con su imagen dentro de la imagen de $\mathbb{Z}$ ). Porque, a través de $f$ y $g$ De todos modos, tenemos copias perfectas de ellos.

Hacemos lo mismo con $\mathbb{Q}$ como "dentro de $\mathbb{R}$ ", identificando elementos de $\mathbb{Q}$ con cortes Dedekind específicos o con clases de equivalencia específicas de secuencias de Cauchy, mostrando que la identificación es uno a uno y respeta todas las operaciones (y es esencialmente única), y obteniendo así una "copia perfecta" de $\mathbb{Q}$ dentro de $\mathbb{R}$ (y por extensión, copias perfectas de $\mathbb{N}$ y de $\mathbb{Z}$ También se encuentra en el interior de $\mathbb{R}$ ).

Puede seguir, por supuesto: definir $\mathbb{C}$ como el conjunto de todos los pares $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ ; a continuación, identifique $\mathbb{R}$ con los pares $\mathbb{R}\times\{0\}$ y tiene una copia de $\mathbb{N}$ sentado dentro de una copia de $\mathbb{Z}$ sentado dentro de una copia de $\mathbb{Q}$ sentado dentro de una copia de $\mathbb{R}$ sentado en el interior $\mathbb{C}$ . (Y luego puedes pegar $\mathbb{C}$ dentro de los cuaterniones, los cuaterniones dentro de los octoniones).

Así, aunque en realidad son conjuntos muy diferentes, tenemos copias de cada uno de ellos dentro del "siguiente", copias que respetan todas las estructuras que nos interesan, por lo que podemos seguir pensando que son "subconjuntos".

Eso se hacía todo el tiempo sin el formalismo: pensamos en las "fracciones" como si estuvieran formadas por un entero, un sólido y un entero no nulo, de modo que " $3$ " no es una fracción; pero cuando es necesario, somos perfectamente felices escribiendo " $3 = \frac{3}{1}$ "y trabajar con cualquier versión de $3$ (el entero, o la fracción) dependiendo del contexto.

Answer 2

Sí, en el sentido de que en ZF, cada una de las definiciones anteriores define una colección diferente de conjuntos. También sí, en el sentido de que siempre hay que tener en cuenta el contexto cuando se habla de un objeto matemático.

El hecho matemático que nos permite sobrecargar el símbolo $2$ aquí es la existencia de una secuencia de inyecciones naturales $\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ y los elementos de cualquier término de esta secuencia pueden ser empujados hacia delante en la siguiente inyección o, si se encuentran en el rango de la inyección anterior, pueden ser retirados. La mayoría de la gente hace esto automáticamente y por eso no suele señalarlo explícitamente. En términos más generales, $1$ se refiere a la identidad multiplicativa en cualquier anillo, $0$ a la identidad aditiva en cualquier anillo, y $2 = 1 + 1, 3 = 1 + 1 + 1$ y así sucesivamente.

Answer 3

Además de las otras respuestas, también es importante saber que existe un sistema numérico (más o menos) que integra N, Z, Q y R (y un montón más, pero no C).

El números surrealistas toman la idea básica de los cortes de Dedekind, asignando a cada número un conjunto de la izquierda ("más pequeño") y conjunto derecho ('más grande') de números (restricción a ciertas reglas), arrancando todo el proceso desde el conjunto vacío y terminando con los reales y extraños infinitesimales como $\frac{1}{\sqrt{\omega - \pi}}$ ¡!