Multiplicación en un K(G,n)

Question

Supongamos que, dado un grupo abeliano $G$ existe un mapa de multiplicación $\mu:K(G,n)\times K(G,n) \to K(G,n)$ definida de forma que el mapa inducido en el grupo de homotopía $\mu_*:\pi_n(K(G,n) \times K(G,n)) \to \pi_n(K(G,n))$ toma $(g_1,g_2)$ a $g_1 + g_2$ , donde $+$ es la operación sobre $G$ .

¿Se deduce que esta multiplicación es homotópica conmutativa; es decir, si $t:K(G,n) \times K(G,n) \to K(G,n) \times K(G,n)$ cambia las coordenadas, ¿se deduce que $\mu t$ es homotópico a $\mu$ ? Desde $G$ es conmutativo, parece que $\mu$ debe ser, pero me cuesta dar con la homotopía real. Sé que NO es cierto en general que si dos mapas inducen los mismos homomorfismos sobre grupos de homotopía, entonces son homotópicos.

También cabe preguntarse si el hecho de que la operación de $G$ es asociativo implica que $\mu$ es homotópico-asociativo.

Answer 1

Sí, se deduce que $\mu t$ es homotópico a $t$ .

En general tenemos el siguiente resultado:

Lema: Supongamos que $G$ y $H$ son grupos abelianos y $f,g: K(G,n) \to K(H,n)$ son mapas. Entonces $f_* = g_*: \pi_n(K(G,n))=G \to \pi_n(K(H,n))$ si y sólo si $f$ es homotópico a $g$ .

Esto se deduce fácilmente de lo siguiente:

Lema: Dejemos que $X$ ser un $(n-1)$ -conectado CW-complejo con $\pi_1(X)$ abeliana entonces el mapa $\eta: H^n(X;G) \to \text{Hom}(\pi_n(X),G)$ dado por $\eta[f] = f_*: \pi_n(X) \to \pi_n(K(G,n)) = G$ es un isomorfismo.

Aquí utilizamos que $H^n(X;G) \cong [X, K(G,n)]$ donde $[ , ]$ denota las clases de homotopía de los mapas.

Una referencia para este último lema es Arkowitz - Introduction to Homotopy Theory. Es el lema 2.5.13