Sumas directas con $\{0\}$ ¿es esta una prueba correcta?

Question

Supongamos que $U \oplus W = V$ . Demostrar que $U \oplus W \oplus \{0\} = V$ .

Esta es una prueba que se me ocurrió al hacer una pregunta aquí un poco antes:

Dejemos que $U$ y $W$ sean subespacios de $V$ . Si $U \oplus W = V$ entonces $U + W = V$ y la única combinación $u + w$ donde $u \in U$ y $w \in W$ que produce el $0$ vector es $v = w = 0$ . Considere un elemento adicional $z \in \{0\}$ . Para que la condición, $0 = 0 + 0 + z$ para estar satisfecho, debe ser que $ z = 0$ . Dado que es cierto que para cualquier $z \neq 0, z \not\in \{0\}$ podemos concluir que $U \oplus W \oplus \{0\} = V$ .

¿Es esto válido?

Answer 1

Está casi bien, salvo que creo que tienes la condición de suma directa ligeramente mal redactada. Usted quiere asumir que $u + w + z = 0$ con $u \in U$ , $w \in W$ y $z \in \{0\}$ . Esta condición implica que $u + w = 0$ para que $u = w = 0$ .

Has asumido que $u = w = 0$ para demostrar que $z = 0$ que es al revés.