Dejemos que $H$ sea un subgrupo de un grupo G. Demuestre que si $aH=bH$ entonces $Ha^{-1}=Hb^{-1}$ . Demostrar que el mapa $\alpha$ definido por $\alpha(gH)=Hg^{-1}$ es una biyección.
Para la primera parte de la prueba:
Desde $H$ es un grupo en sí mismo, $e \in H$ .
Así, $\exists h_e \in H$ tal que $a=bh_e$ Por lo tanto $b^{-1}=h_ea^{-1}$ .
Por lo tanto, $\forall h_1 \in H, h_1b^{-1}=h_1h_ea^{-1}=h_2a^{-1}$ y por lo tanto $Hb^{-1}=Ha^{-1}$
Creo que para probar $\alpha$ es una biyección, necesito demostrar que es a la vez sobreyectiva e inyectiva. Pero como estoy estudiando matemáticas por mi cuenta, no sé cómo hacerlo de forma rigurosa, ¿podría alguien proporcionar una solución completa para esto?
