Demostrar un límite de una función $f(x)=\frac{x-1}{x}$

Question

Dejemos que $ f: (0, \infty ) \mapsto \mathbb{R} $ se define por $f(x)=\frac{x-1}{x} $

¿Cómo puedo demostrar que $ \lim_{x\to0}f(x) = -\infty $ ?

Traté de mostrar que para todos $ z \in \mathbb{R} $ $ \exists \epsilon \gt 0 $ tal que $ 0 \lt |x| \leq \epsilon $ , entonces $ \frac{x-1}{x} \leq z $ .

¿Cómo puedo encontrar este tipo de $ \epsilon $ ?

Answer 1

Resuelva esta desigualdad para $x$ : $$\frac{x-1}x\le z$$

Desde $x>0$ puedes multiplicar ambos lados por $x$ : $$x-1\le zx\iff x(1-z)\le 1$$

También puede suponer que $z< 1$ y luego $$x\le\frac1{1-z}$$

Así que toma $$\epsilon=\frac1{1-z}$$