La traslación del toro es ergódica si y sólo si las componentes del vector de traslación son racionalmente independientes.

Question

Estoy leyendo Teoría Ergódica y Dinámica Diferencial de Ricardo Mane. Hay un teorema en el libro que dice lo siguiente Si x $\in$ $R^n$ la traducción L $_{\pi(x)}$ : $T^n \rightarrow T^n$ es ergódica si y sólo si (k,x) $\notin$ Z para cada k $\in Z^n$ .

Esperaba que alguien pudiera darme o dirigirme a una prueba comprensible de este resultado, ya que la de Mane no da muchas explicaciones.

Answer 1

En realidad esto no es del todo correcto: hay que excluir $k = 0$ .

Si $(k,x) \in \mathbb Z$ y $k \ne 0$ entonces $f(t) = \exp\left(2\pi i (k, t)\right)$ es invariable bajo $L_{\pi(x)}$ y no es a.e. constante.

Por el contrario, si $f \in L^1(\mathbb T^n)$ es invariable bajo $T_{\pi(x)}$ , mira la transformada de Fourier de $f$ : $\widehat{f}(k) = \int_{\mathbb T^m} \exp(-2\pi i (k,t)) f(t)\; dt$ (donde $dt$ se normaliza $m$ -medida de Lebesgue en $\mathbb T^m$ ). Dado que $\widehat{L_{\pi(x)} f}(k) = \exp(2\pi i (k,x)) \widehat{f}(k)$ Debemos tener $(k,x) \in \mathbb Z$ para cualquier $k$ tal que $\widehat{f}(k) \ne 0$ . Si no hay tales $k$ excepto $0$ entonces (por el hecho de que la transformada de Fourier es uno a uno en $L^1$ ) $f$ es una constante a.e.