Al graficar la forma cuadrática, ¿qué valor propio debe elegirse primero?

Question

Acabo de graficar una función cuadrática, $-4x^2_1+4x_1x_2-7x_2^2=-8$ , por:

1. Encuentra los valores propios de la función anterior, que son $\lambda_1=-8$ y $\lambda_2=-3$
2. Usa los valores propios para hacer una nueva función cuadrática en $y$ eje, que se convierte en $-8y^2_12-3y_2^2=-8$
3. Utilice los vectores propios para desplazar la elipse hacia el $x$ eje.
4. Lo he comprobado con el libro de ejercicios y la forma es correcta (elipse alta y delgada)

Lo que no entiendo es cómo crear correctamente un $y$ fórmula cuadrática del eje (paso 2). Al elegir $-8$ antes de $-3$ la elipse ( $-8y^2_12-3y_2^2=-8$ ) es alto y delgado.

Sin embargo, si tuviera que elegir $\lambda_2$ antes de $\lambda_1$ , y proceder con $-3y^2_12-8y_2^2=-8$ la elipse se vuelve gorda y no alta. ¿Existe un algoritmo para saber qué valor propio debe venir primero?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Una pista:

Hagamos un gráfico de contorno de los sistemas resultantes.

Elegimos $\lambda_1=-8$ y $\lambda_2=-3$ y obtenemos $-8y_1^2 - 3y_2^2 = -8$ por lo que una parcela es:

A continuación, vamos a elegir $\lambda_1=-3$ y $\lambda_2=-8$ y obtenemos $-3y_1^2 - 8y_2^2 = -8$ por lo que una parcela es:

¿Qué notas en estas dos parcelas? Fíjate en el $y_1$ frente a $y_2$ y comparar ambos gráficos. Piensa en la rotación por En otras palabras, $-4x_1^2 + 4x_1x_2 - 7x_2^2 = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2$ , donde $\lambda_1, \lambda_2$ son las entradas diagonales de $PDP^{-1}$ (recuerde que P está utilizando los vectores propios normalizados). Somos libres de elegir qué valor propio es cada uno, ya que estamos diagonalizando (si es posible, utilizando esa elección de valores propios, que dictan nuestras columnas de $P$ ). Los ejes de la elipse (en este caso) tienen las direcciones correspondientes a los vectores propios de la matriz $A$ que definen los ejes mayor y menor de la elipse. En los dos casos, lo único que hemos hecho es rotar los ejes resultantes de la elipse.