Tratamiento matemático de la relatividad general

Question

¿Puede alguien sugerir un libro de texto que trate la relatividad general desde una perspectiva matemática rigurosa? Lo ideal sería que un libro así

1. Demuestra todos los teoremas utilizados.

2. Utilizar la "notación matemática" moderna en contraposición a la "notación física", especialmente en lo que respecta al álgebra lineal y la geometría diferencial.

3. Tenga ejemplos que ilustren tanto los aspectos computacionales como los teóricos.

4. Disponga de una serie de ejercicios con diferentes grados de dificultad, con respuestas.

Un texto ideal se parecería más a un libro de matemáticas que a un libro de física y exigiría pocos requisitos previos de física. En definitiva, me gustaría un libro que proporcionara un desarrollo axiomático de la relatividad general de forma clara y que con precisión matemática elaborara los detalles de la teoría.

Adenda (1): No era mi intención iniciar una guerra por la notación. Como dije en uno de los comentarios más abajo, creo que la notación indicial junto con la convención de suma es muy útil. El enfoque sin coordenadas también tiene sus usos y no veo ninguna razón por la que los dos no puedan coexistir pacíficamente. Lo que quería decir con "notación matemática" frente a "notación física" es lo siguiente: Consideremos, como ejemplo, uno de los principales textos sobre variedades suaves, Introduction to Smooth Manifolds de John Lee. Estoy muy acostumbrado a esta notación y es muy similar a la notación utilizada por Tu's Introduction to Manifolds, por ejemplo, y otros textos populares sobre geometría diferencial. Por otro lado, tomemos la Geometría de la Física de Frankel. Es un buen libro, pero me resulta muy difícil seguirlo porque 1) carece de pruebas y 2) la notación no concuerda con otros textos de matemáticas a los que estoy acostumbrado. Por supuesto, hay puntos en común, pero es lo suficientemente diferente como para que me resulte realmente molesto tratar de traducir entre los dos...

Adenda (2): Para beneficio de los futuros lectores, además de las sugerencias que aparecen a continuación, he encontrado otro texto que también se ajusta a los criterios que expuse anteriormente. Es, El espacio-tiempo: Fundamentos de la relatividad general y la geometría diferencial por Marcus Kriele. El autor comienza discutiendo la geometría afín, el análisis de los colectores, el álgebra multilineal y otros fundamentos, y se adentra en la relatividad general más o menos en el punto medio del texto. La notación también es bastante coherente con los libros de geometría diferencial que he mencionado anteriormente.

Answer 1

El trabajo de la física en este campo es bastante riguroso. Hawking y Ellis es una referencia estándar, y está perfectamente bien en términos de rigor.

Digresión sobre la notación

Si tienes una contracción tensorial de algún tipo de complejidad moderada, por ejemplo:

$$ K_{rq} = F_{ij}^{kj} G_{prs}^i H^{sp}_{kq}$$

y tratas de expresarlo en una notación sin índice, normalmente eso significa que haces alguna expresión con paréntesis que hace

$$ K = G(F,H)$$

O tal vez

$$ K = F(G,H) $$

O algo más. Es muy fácil demostrar (de forma rigurosa) que no hay ninguna notación de paréntesis que reproduzca las contracciones de los índices tensoriales, porque los paréntesis son analizados por un lenguaje de pila (gramática libre de contexto en la clasificación de Chomsky) mientras que los índices no pueden ser analizados de esta forma, porque incluyen grafos generales. Los paréntesis generan árboles de análisis, y siempre se tienen exponencialmente muchos árboles máximos dentro de cualquier gráfico, por lo que hay una redundancia exponencial en la notación.

Esto significa que cualquier intento de notación libre de índices que utilice paréntesis, como hacen los matemáticos, está destinado a fracasar estrepitosamente: tendrá exponencialmente muchas expresiones diferentes para la misma expresión tensorial. En la literatura matemática, a menudo se ven espacios tensoriales definidos en términos de mapas, con muchos "isomorfismos naturales" entre diferentes clases de mapas. Esto refleja la terrible correspondencia entre la notación funcional y la notación de índices.

Los formalismos diagramáticos fijan el crecimiento exponencial

Dado que la notación con paréntesis no sirve para los tensores, y la contracción de los índices se ajusta a los objetos por pares, hay muchos formalismos diagramáticos útiles para los objetos tensoriales. Los diagramas representan las contracciones de una manera que no requiere un nombre para cada índice, porque las líneas del diagrama emparejan enchufes con una línea, sin usar un nombre.

Para el grupo de Lorentz y la relatividad general, Penrose introdujo una notación diagramática de índices que resulta muy útil. Para las representaciones de alto espín de SU(2), y sus símbolos de Clebsch-Gordon y Wigner 6-j, los diagramas de tipo Penrose son absolutamente esenciales. Gran parte de la literatura reciente sobre los grupos cuánticos y el polinomio de Jones, por ejemplo, depende totalmente de la notación de Penrose para los índices de SU(2), y a veces de SU(3).

Los diagramas de Feynman son el formalismo diagramático más famoso, y también son útiles porque la estructura de contracción de los índices/propagadores en una expresión de la teoría cuántica de campos conduce a un crecimiento exponencial y a simetrías no evidentes. Los diagramas de Feynman tomaron el relevo de las expresiones algebraicas al estilo de Schwinger porque las expresiones algebraicas tienen la misma redundancia exponencial que los diagramas.

En el campo de la biología teórica, se da el mismo problema de explosión exponencial de la notación. Los diagramas de interacción de proteínas son exponencialmente redundantes en la notación de redes de Petri, o en términos de expresiones algebraicas. Las notaciones diagramáticas que se han introducido solucionan el problema por completo y ofrecen una buena correspondencia entre la expresión diagramática y la función de la proteína en un modelo.

En el campo de la semántica dentro de la filosofía (si es que queda algo de ella), las ideas de Frege también conducen a un crecimiento exponencial del mismo tipo. Frege consideraba una oración como una composición de sujeto y predicado, y consideraba el predicado como una función del sujeto al significado. La función se define uniendo el predicado al sujeto. Así, "Juan está corriendo" se considera como la función "Está corriendo"("Juan").

Entonces un adverbio es una función de predicados a predicados, así que "Juan está corriendo rápidamente" significa ("rápidamente"("Está corriendo"))("Juan"), donde el rápidamente actúa sobre "está corriendo" para hacer un nuevo predicado, y éste se aplica a "Juan".

Pero ahora, ¿qué pasa con los modificadores de adverbios, como "muy", como en "Juan está corriendo muy rápido"? Se pueden representar como funciones de adverbios a adverbios, o como funciones de predicados a predicados, dependiendo de cómo se ponga el paréntesis:

(("muy"("rápidamente"))("Está corriendo"))("Juan")

contra.

(("muy")(("rápidamente")("Está corriendo"))("Juan")

Cuál de estas dos paréntesis es correcta define dos escuelas de filosofía semántica. Existe un debate interminable sobre la representación fregiana adecuada de las diferentes partes de la oración. La resolución, como siempre, es identificar la forma diagramática adecuada, que elimina la ambigüedad exponencial de la representación funcional entre paréntesis. El hecho de que los filósofos no hayan hecho esto en 100 años de este tipo de debate sobre la semántica fregiana demuestra que el campo no goza de buena salud.

Answer 2

Estoy de acuerdo con Ron Maimon en que Estructura a gran escala del espacio-tiempo de Hawking y Ellis ya es bastante rigurosa matemáticamente. Si insistes en complementar eso de alguna manera:

• Para los aspectos geométricos puramente diferenciales/pseudo-riemannianos, recomiendo Geometría semi-riemanniana por B. O'Neill.
• Para los aspectos analíticos, especialmente el problema del valor inicial en la relatividad general, también puede consultar El problema de Cauchy en la relatividad general por Hans Ringström.
• Para centrarse en las singularidades, he oído hablar bien de Análisis de las singularidades espacio-temporales de C.J.S. Clarke, pero todavía no he leído ese libro con mucho detalle.
• Para las cuestiones relacionadas con el teorema del no-pelo, la obra de Markus Heusler Teoremas de unicidad de los agujeros negros es bastante completo y autónomo.
• Otra opción es consultar la obra de Mme. Choquet-Bruhat La relatividad general y las ecuaciones de Einstein . El libro no es realmente adecuado como libro de texto para aprender. Pero como libro de consulta complementario es bastante bueno.

Si está interesado en aprender sobre las herramientas matemáticas utilizadas en la RG clásica moderna y menos en los teoremas reales, la primera docena de capítulos de Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (por Stephani y otros ) hace un buen trabajo.

Answer 3

Recomiendo a Yvonne Chocquet-Bruhat, Geometría diferencial y sistemas externos porque es muy corto y tiene ejercicios y está en la notación que quieres. Lo recomiendo encarecidamente (aunque no puedas conseguirlo con su autógrafo inscrito).

También recomiendo encarecidamente su versión mucho más larga (pero intenta conseguir la primera edición, que sigue siendo bastante larga) Análisis, Múltiples y Física por Yvonne Choquet-Bruhat, Cecile Dewitt-Morette y Margaret Dillard-Bleick que tiene muchos ejercicios y mucha más Física... pero es demasiado largo. Dios, incluso incluye el movimiento browniano y las integrales de trayectoria....

Dicho esto, Dirac y Schroedinger tienen buenos y muy cortos libros de Física sobre el tema, los recomiendo también aunque no sean exactamente lo que pediste.

El libro de Bob Geroch también es valioso.

Answer 4

Las otras respuestas ya mencionan muchos buenos libros de texto sobre aspectos matemáticos de la relatividad general. Sin embargo, parece que aún faltan dos libros que, en mi opinión, también son bastante buenos sobre este tema. Permítanme añadirlos aquí:

• M. Kriele: El espacio-tiempo. Fundamentos de la relatividad general y la geometría diferencial . volumen 59 de Lecture Notes in Physics Monographs . Springer, Berlín, Heidelberg, 1999.
• R. Sachs y H.-H. Wu: Relatividad general para matemáticos . volumen 48 de Textos de Posgrado en Matemáticas . Springer, Nueva York, 1977.

Answer 5

Tal vez este: Introducción matemática a la relatividad general

Los requisitos previos son mínimos: Un estudiante de segundo/tercer año de licenciatura en Matemáticas sin conocimientos previos de geometría diferencial o de Física más allá de un curso universitario estándar de primer año de Física General debería ser capaz de seguir este libro. Hay soluciones completas a todos los ejercicios incluidos en el libro.