Lo demostramos por inducción.
Esta afirmación es válida para $n = 2$ . Supongamos que es cierto para $n$ existe el $\{a_{ij}\}_{1\le j \le i\le n}$ tal que $$ \begin{align} a_{11}^2 & = a_{21}^2 + a_{22}^2\\ & = a_{31}^2 + a_{32}^2 + a_{33}^2\\ & = \cdots\\ & =a_{n1}^2 + a_{n2}^2 + \cdots + a_{nn}^2 \\ \end{align} $$
Para $n+1$ , toma $b_{22} = \color{red}{2}a_{11}$ y, a continuación, elija $b_{21} = a_{11}^2-1$ y $b_{11} = a_{11}^2+1$ entonces $$b_{11}^2 = b_{21}^2 +b_{22}^2$$
Nota: : Cómo encuentro $(b_{22},b_{21},b_{11})$ ? La idea es aplicar la La fórmula de Euclides existe $(m,n) = (a_{11},1)$ tal que $$ \begin{cases} b_{22} = \color{red}{2} \times a_{11} \times 1 = 2mn\\ b_{21} = m^2 -n^2\\ b_{11} = m^2+n^2 \end{cases} $$
Entonces, toma $$ \begin{cases} b_{k1} = b_{21} = a_{11}^2 +1 \quad \text{for } 2\le k \le n\\ b_{ij} = \color{red}{2}a_{(i-1),(j-1)} \quad \text{for } 2 \le j \le i \le n+1\\ \end{cases} $$
Por lo tanto, existe $\{b_{ij}\}_{1\le j \le i\le n+1}$ tal que $$ \begin{align} b_{11}^2 & = b_{21}^2 + a_{11}^2= b_{21}^2 + b_{22}^2\\ & = b_{31}^2 + a_{11}^2 = b_{31}^2 + b_{32}^2 + b_{33}^2\\ & = \cdots\\ & = b_{(n+1),1}^2 + a_{11}^2 =b_{(n+1),1}^2 + b_{(n+2),2}^2 + \cdots + b_{(n+1),(n+1)}^2 \end{align} $$
Q.E.D
