La suma de todos los divisores positivos son primos

Question

Para un número entero $n$ , dejemos que $\sigma (n)$ sea la suma de todos los divisores positivos de $n$ . Para cuántos enteros $n$ en el rango inclusivo $[1, 500]$ se $\sigma (n)$ sea un número primo?

Intenté hacer un trabajo de caja para limitar los que tengo que revisar.

Caso 1: si $n$ es primo $p$ entonces $f(n) = p+1$ por lo que no se contarán todos los primos excepto $n = 2$

Caso 2: si $n = p_1 * p_2 ... p_x$ entonces $f(n) = (p_1 + 1) (p_2 + 1) ... (p_x + 1)$ por lo que todos los números compuestos no se contarán si tiene al menos 2 divisores

Caso 3: si $n = p^2$ entonces $f(n) = p^2 + p+ 1$ que se puede considerar.

Caso 4: si $n = p^{2m-1}$ entonces $f(n) = p^{2m-1} ... + 1 = \frac{(p^m -1)(p^m+1)}{p-1}$ que siempre es compuesto.

¿Tengo que limitarme a probar y equivocarme para el caso 3? ¿Hay otra manera de resolver este problema? ¿Es razonable mi solución anterior?

Answer 1

$\sigma(n)$ es multiplicativo, es decir, si $m$ y $n$ son relativamente primos, $\sigma(mn) = \sigma(m)\sigma(n)$ . Esto significa que sólo hay que considerar el caso de $n = p^k$ donde $p$ es primo y $k \geq 1$ . Si $k = 1$ entonces, evidentemente $p = n = 2$ . Así que puede asumir $k > 1$ .

Es fácil ver que $\sigma(n) = \frac{p^{k+1} - 1}{p - 1}$ Obsérvese que si $d | k + 1$ entonces $p^d - 1 | p^{k + 1} - 1$ . Así que si quieres $\sigma(n)$ para que sea primordial, necesita $k + 1$ para ser primo.

Restringir a $n = p^{q - 1}$ , donde $p$ y $q$ son primos Impares, y tendrás una lista bastante corta de números para comprobar. Podrías escribir un pequeño programa que lo haga por ti.