Límites superiores para la norma del operador de la matriz diagonal de bloques

Question

Consideremos la matriz de bloques real positiva definida $$ X = \begin{bmatrix} A &B \\ B^T &C \end{bmatrix} $$ con dimensiones: $A$ es $d \times d$ , $C$ es $k \times k$ y $B$ es $d \times k$ Así que $X$ es $(d+k) \times (d+k)$ . Ambos $A$ y $C$ también son positivas definidas. Estoy interesado en los límites superiores de la norma del operador $\| X \| = \|X\|_2$ en términos de $A, B, C$ . En particular, ¿hay algún límite aparte del general?

$$ \|X\| \le \|A\| + 2\|B\| + \|C\| $$

que se describe aquí ?

Answer 1

Como la matriz $X$ es positiva definida tenemos $$\|X\|=\max_{\|v\|_2=1}\langle Xv,v\rangle$$ Dejemos que $v=(x,y),$ donde $x\in \mathbb{R}^d,\ y\in \mathbb{R}^k.$ Entonces $$\displaylines{\langle Xv,v\rangle=\langle Ax,x\rangle +\langle Cy,y\rangle+2\langle By,x\rangle \\ \le \|A\|\,\|x\|_2^2+\|C\|\,\|y\|_2^2+2\|B\|\,\|x\|_2\|y\|_2\qquad (*)\\ \le \|A\|\,\|x\|_2^2+\|C\|\,\|y\|_2^2+\|B\|(\|x\|_2^2+\|y\|_2^2)\\ \le \left [\max(\|A\|,\|C\|)+\|B\|\right ]\,\|v\|_2^2} $$ Por lo tanto, $$\|X\|\le \max(\|A\|,\|C\|)+\|B\|$$ La estimación es óptima si $B=0.$

Todavía hay margen de mejora, ya que la cantidad $(*)$ se puede estimar mediante la norma de $2\times 2$ matriz de la forma $$\begin{pmatrix} \|A\| & \|B\|\\ \|B\| &\|C\|\end{pmatrix} $$ veces $\|v\|_2^2.$ Para calcular la norma, basta con encontrar los valores propios de esta matriz y elegir el de mayor valor absoluto. Tal vez esta matriz sea positiva definida, lo que requiere $\|A\|\,\|C\|\ge \|B\|^2,$ pero pude demostrar que $$\|B\|\le {1\over 2}[\|A\|+\|C\|]$$ basándose en el hecho de que $X$ es positiva definida.