Determinar si la función $f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{\sin \sqrt{x^2+y^2}}$ es diferenciable en $(0,0)$ .

Question

Dejemos que $D=\{(x,y)\in\Bbb R^2:\sqrt{x^2+y^2}<\pi\}$ . Definir $f(x,y)=\begin{cases} 0, & \text{if $x= 0$ } \\ \frac{x^2+y^2}{\sin \sqrt{x^2+y^2}}, & \text{if $x\in D-(0,0)$} \end{cases}$ . Es $f$ diferenciable en $(x,y)=(0,0)$ ?

He calculado $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1$ y $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1$ . Estoy atascado en $$\lim \limits_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\frac{h^2+k^2}{\sin \sqrt{h^2+k^2}}-h-k}{\sqrt{h^2+k^2}}$$

¿Qué debo hacer ahora?

Answer 1

Veamos si $f$ es parcialmente derivable con respecto a $x$ en $(0,0)$ . Desde $$ \frac{f(x, 0) - f(0,0)}{x} = \frac{|x|}{x} \cdot \frac{|x|}{\sin |x|}\,, $$ concluimos que el límite como $x\to 0$ de la cantidad anterior no existe.

Answer 2

Te has equivocado al calcular las derivadas parciales, en realidad no existen en el origen. Por ejemplo, si se pone $y$ a cero, y utilizar la aproximación $\sin x = x$ cerca del origen, se puede ver que su función se reduce a $|x|$ que no es diferenciable.