Esto me recuerda a esta respuesta mía que explora la quiralidad en dimensiones superiores (e inferiores).
En primer lugar, utilicemos la definición de dimensión 1 de un objeto como último valor de $n$ de manera que el objeto o una copia rotada del mismo cubra un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ .
Ahora bien, el concepto de "quiralidad" consiste en que una reflexión no puede estar compuesta de rotaciones.
Se puede demostrar que si un $n$ objeto dimensional se toma y se coloca/proyecta en $m$ espacio dimensional para $n\neq m$ y visto desde el mayor de los dos, el objeto es aquiral.
Sí, hay son objetos quirales en 2D y 1D. Tomemos la siguiente secuencia de puntos:
... .. .
Si vive en un espacio 1D, no puede "darse la vuelta". Esto significa que estas dos imágenes especulares:
... .. .|. .. ...
no son el mismo objeto.
En dos dimensiones, observe estas dos imágenes especulares:
X | X
H-+ | +-H
T | T
Tenga en cuenta que no se puede girar de una a otra si se está confinado a dos dimensiones (es decir, no podemos hacer que el objeto "salte" de la página).
Ahora, para ponernos un poco más matemáticos. Esto no va a ser riguroso, pero voy a tratar de ser convincente.
Sólo voy a considerar $180^\mathrm{o}$ rotaciones a lo largo de un eje de coordenadas ( $R_{x_i}$ ) y reflexiones a lo largo de planos de coordenadas ( $F_{x_i}$ ), pero esto puede generalizarse. Observemos estas cosas de las dos operaciones:
- Una rotación $R_{x_i,x_j}$ o $R_{ij}$ tiene las siguientes propiedades (compruébalas tú mismo):
- Toma el objeto y voltea los signos de $x_i$ y $x_j$ de todos los puntos del objeto.
- Es conmutativa (nota: estoy sólo hablando de rotaciones de 180 grados)
- Dos rotaciones del mismo tipo conducen a una operación de identidad $I$
- $R_{ij}R_{jk} = R_{jk}$
- Un tirón $F_{x_i}$ o $F_i has the following properties: - It flips the sign of $ x_i $ only - It is commutative - Two flips of the same kind lead to an identity operation - $ F_iF_j = R_{ij}$
Ahora bien, para que un objeto sea quiral, no deberíamos poder atribuir ningún giro a una composición de rotaciones. Tomemos un $n$ objeto dimensional en $m$ espacio dimensional.
Si $n=m$ para un objeto asimétrico, lo anterior no es necesario. Obsérvese que cualquier composición de rotaciones puede reducirse a algo en lo que haya como máximo una de cada tipo. En tres dimensiones, esto nos da las opciones $I, R_{xy},R_{yz},R_{zx}, R_{xy}R_{yz},R_{yz},R_{zx}R_{yz},R_{xy}R_{zx}, R_{xy}R_{yz}R_{zx}$ o $8$ combinaciones. Sin embargo, el uso de $R_{ij}R_{jk} = R_{jk}$ podemos reducir las rotaciones al $4$ composiciones $I, R_{xy},R_{yz},R_{zx}$
Sin embargo, el número total de combinaciones de inversión de signo (es decir, todas las tuplas ordenadas obtenidas mediante la inversión selectiva de los signos de las coordenadas) es $2^3=8$ . Pero podemos obtener todos $8$ componiendo giros y rotaciones. Dada una combinación de giro de signo: Si hay un número par de coordenadas con signos invertidos, sólo tenemos que componer el $R_{ij}$ s correspondientes a pares de coordenadas con el signo invertido. Si hay un número impar, ignoramos una de las vueltas de signo, hacemos lo mismo que en el caso de la vuelta de signo par y añadimos un $F_{j}$ alrededor de las coordenadas originalmente ignoradas.
Esto significa que hay objetos que pertenecen al conjunto formado por la composición de las volteretas y rotaciones que no pertenecen al conjunto formado por la simple composición de rotaciones. La quiralidad existe.
Esto se puede generalizar fácilmente, podemos demostrar que en cualquier número de dimensiones, podemos formar todas las combinaciones de cambio de signo ( $2^n$ ) componiendo giros y rotaciones, pero sólo la mitad componiendo sólo rotaciones ya que, para cualquier composición de $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor +1$ o más objetos de rotación, habrá como mínimo un par de objetos que comparten un índice 2 por lo que siempre podemos utilizar $R_{ij}R_{jk} = R_{jk}$ reducir la composición a una de menos o igual a $\frac{n}{2}$ objetos.
Sin embargo, si el objeto tiene menos dimensiones, esto ya no funciona.
En este caso, siempre podemos alinear uno de los ejes "extra" del objeto con $x_1$ . Ahora, $x_1=0$ para todos los puntos del objeto. Esto hace que la operación $F_{1}$ impotente (y equivalente a la operación de identidad $I$ ). Ahora, habíamos demostrado que podemos hacer que el $2^N$ combinaciones únicas de giros de signos componiendo varias rotaciones y posiblemente un solo giro. Ahora podemos demostrar que la composición de un número de rotaciones y un giro es simplemente una composición de rotaciones, ya que podemos multiplicar la primera por $F_{1}=I$ y luego reducir la composición de dos giros a la composición de múltiples rotaciones.
Por lo tanto, un objeto de dimensión inferior en un espacio de dimensión superior no puede ser quiral.
1. Hay muchas formas de definir la dimensión que no siempre dan el mismo resultado. Mi favorita es la dimensión de Lebesgue, que es un concepto bastante bonito, pero no es lo que necesito aquí.
2. Por el principio del encasillamiento - hay $n$ posibles índices y $n+1$ (si $n$ es impar) o $n+2$ índices totales a partir de la composición de $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor +1$ objetos de rotación cada uno con un par de índices no iguales
