Demostrar que el límite del producto de estas dos secuencias es cero

Question

Estoy tratando de probar esta proposición:

Teorema: Supongamos que $(a_n)$ es una secuencia que converge a $0$ y que $(b_n)$ es una secuencia acotada. Entonces la secuencia $(a_n \cdot b_n)$ es convergente y $$ \lim_{n \to \infty} a_n \cdot b_n = 0. $$

Intento de prueba: Porque la secuencia $(b_n)$ está acotado, existe un $M > 0$ tal que $|b_n| \leq M$ por cada $n \in \mathbb{N}$ . Entonces tenemos $$ 0 \leq | a_n \cdot b_n | \leq M |a_n |. $$ Porque $(a_n)$ converge a cero, existe un $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $|a_n| < \epsilon$ para todos $n \geq n_0$ . Desde $M > 0$ por lo que también tenemos $$ 0 \leq | a_n \cdot b_n | \leq M |a_n | < M \epsilon. $$

Ahora estoy atascado y no sé cómo proceder. Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Has terminado. Una forma de verlo mejor: para cualquier $\varepsilon$ puedes encontrar $n_0$ tal que $|a_n|<\frac{\varepsilon}{M}$ para $n > n_0$ y así $$0 \leq |a_n \cdot b_n| \leq M |a_n| < M \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon,$$ así que $a_n \cdot b_n \to 0$ .