Estoy tratando de demostrar que si $n$ es par y si $n+1$ Los números enteros son elegidos del conjunto $\{1,2,....,2n \}$ entonces siempre hay dos enteros que difieren en 2.
En mi intento.
Intento $n=2$ , por lo que tenemos $\{1,2,3,4\}$ y podríamos dividir $\{1,2,3,4\}$ en dos cajas con $2$ números en cada uno de ellos como sigue $\{1,3 \}$ y $ \{2,4 \}$ . Ahora estas dos cajas son mis casilleros y quiero tomar $n+1=3$ números de estas dos casillas y, por tanto, por el principio de encasillamiento, tengo que tomar una de las dos casillas que tienen dos enteros que difieren en 2 y, por tanto, hecho.
Ahora quiero generalizar esto para cualquier $n=2k$ ¿Cómo puedo hacerlo?
Pensé en proceder por inducción.
Supongamos que esto funciona para $n=2k$ ahora quiero demostrar que funciona para $n=2(k+1)$ .
Supongamos que funciona para $\{1,2,.....,4k \}$ Quiero demostrar que funciona para $\{1,2,.....,4k + 4 \}$
Así que porque funciona para $$\{1,2,.....,4k \}$$
Esto significa que si $n+1 = 2k +1$ Los números enteros se eligen entre
$$\{1,2,.....,4k \}$$
entonces siempre hay dos enteros que difieren en 2.
Considerando ahora $\{1,2,.....,4k + 4 \}$
La diferencia entre $\{1,2,.....,4k + 4\}$ y $\{1,2,.....,4k \}$
Son sólo 4 números $$ \{4k+1,4k+2,4k+3,4k+4 \}$$
Ahora bien, si queremos elegir $n+1 = 2k +3$ . Entonces me detengo aquí, y no sé cómo proceder .
¿Alguna sugerencia? o ¿hay alguna otra forma de responder a esta pregunta sin inducción matemática?
