problema de ecuación diferencial parcial cuasi lineal

Question

Necesito resolver para encontrar un número infinito de soluciones para la EDP: $$\begin{cases}\frac{u_x}{y}-u_y=u\quad y>0\\ u\left(x,e^{-x}\right)=0\end{cases}$$ lo que he hecho hasta ahora es: $$\begin{cases}x'(t)=\frac{1}{y}\\y'(t)=-1\\u'(t)=u\end{cases}\rightarrow x(t,s)=\begin{cases}x(t,s)=C_1(s)-ln(C_2(s)-t)\\ y(t,s)=C_2(s)-t\\ y(t,s)=C_3(s)e^t\end{cases}$$ ¿Cómo debo proceder a partir de este punto?

Answer 1

$$\frac{u_x}{y}-u_y=u$$ EDOs características de Charpit-Lagrange : $$\frac{dx}{1/y}=\frac{dy}{-1}=\frac{du}{u}$$ Una primera ecuación característica resulta de resolver $\frac{dx}{1/y}=\frac{dy}{-1}\quad\implies\quad dx+\frac{dy}{y}=0$ : $$e^x y=c_1$$ Nota: usted escribió correctamente $x(t,s)=C_1(s)-\ln(C_2(s)-t)$ y $y(t,s)=C_2(s)-t$ . Eliminación de $t$ lleva a $x=C_1-\ln(y)$ que equivale a la ecuación anterior $e^x y=c_1$ con $c_1=e^{C_1}$ .

Una segunda ecuación característica resulta de resolver $\frac{dy}{-1}=\frac{du}{u}$ : $$e^y u=c_2$$

Nota: Usted escribió correctamente $y(t,s)=C_2(s)-t$ . Pero hay un error tipográfico en su escritura $y(t,s)=C_3(s)e^t$ que debe ser $u(t,s)=C_3(s)e^t$ . Eliminación de $t$ lleva a $u=C_3 e^{C_2-y}\quad\implies\quad e^y u=C_3 e^{C_2}$ . Esto equivale a la ecuación anterior $e^y u=c_2$ con $c_2=C_3 e^{C_2}$ .

La solución general de la EDP es : $$e^y u=F(e^x y)$$ Donde $F$ es una función arbitraria. $$\boxed{u(x,y)=e^{-y} F(e^x y)}$$

Caso de afección : $u(x,e^{-x})=0$ $$0=u(x,e^{-x})=e^{-(e^{-x})} F(e^x e^{-x})=e^{-(e^{-x})}F(1)$$ Esto implica $$F(1)=0$$ Son infinitas las funciones que son iguales a $0$ en el argumento $=1$ . Por lo tanto, la respuesta a la pregunta es : Son infinitas las soluciones de la EDP en el caso de la condición particular especificada. $$\boxed{u(x,y)=e^{-y} F(e^x y)\quad\text{with arbitrary function } F \text{ such as } F(1)=0.}$$

Nota : Esta conclusión era esperada porque la condición $u(x,e^{-x})=0$ se define en la curva $y=e^{-x}$ es decir $e^xy=1$ que es una curva característica (caso $c_1=1$ ). Se sabe que la solución no es única cuando la condición está definida en una curva característica.

Answer 2

Recuerda la idea de lo que has hecho: queremos encontrar una familia de curvas $\{C_s\}_s$ tal que

1. cada punto de $\mathbb{R}^2$ se encuentra exactamente en una $C_s$ ,
2. mientras viajas por $C_s$ , $u$ cambia de manera predecible y sencilla de formular (es decir, $\frac{d}{dt}(u(C_s(t)))=(\text{nice formula})$ ), y
3. para cada $s$ Su condición inicial $u(x,e^{-x})=0$ especifica el valor de $u(C_s(t))$ para exactamente un valor de $t$ (llámalo $t_s$ ).

Esto reduce un a priori PDE 2D en una ODE 1D, porque podemos calcular $u(a,b)$ por

• primero averiguar $s$ tal que $(a,b)$ se encuentra en $C_s$ y luego
• integrando a lo largo de $C_s$ de $C_s(t_s)$ a $(a,b)$ .

Has mostrado (2) (resulta que $\frac{d}{dt}(u(C_s(t)))=A_se^t$ ), y (1) resulta ser cierto. Pero (3) se incumple realmente.

Ver si (1) y (3) se cumplen es complicado, porque sus fórmulas para $C_s$ son super feos. Resulta que hay una forma más fácil de describir las curvas características.

Observe que $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-1}{\frac{1}{y}}=-y$$ para que cada curva característica sea $$y(x)=Ae^{-x}$$ En particular, $x\mapsto(x,e^{-x})$ es una de esas curvas.

Os dejo que ahora inventéis una solución diferente para cada $C^1$ función $s\mapsto u(s)$ que desaparece cuando $s=0$ .