durante los primeros 4 años, los intereses se acreditan utilizando un

Question

Tengo problemas con el siguiente problema del examen actuarial FM: Durante los primeros 4 años, los intereses se acreditan utilizando un tipo de interés simple de $5\%$ un año. Después de 4 años, los intereses se acreditan a una fuerza de interés: $$\delta_t = \frac{0.2}{1+0.2t}, t \geq 4$$ Los siguientes son numéricamente iguales: (i) el valor actual en el momento $t = 4$ de pagos de 1000 en el momento $t =2$ y 400 en el momento $t = 7$ y (ii) el valor actual en el momento $t = 0$ de un pago de $X$ en el momento $t = 10$ .

Tengo dos preguntas sobre la solución

1. La solución dice que el valor actual de (i) $= 1000[1 + 2(.05)] + 400\frac{a(4)}{a(7)}$ . Me preguntaba por qué el primer término no es $1000\frac{a(4)}{a(2)}$ .
2. Pensé que el valor de (ii) sería $X\cdot \frac{1}{1+.05(4)} \cdot \frac{1.8}{1+.2(6)}$ donde la última fracción es la invertida $a(t)$ que se obtiene de la fuerza del interés. Pero las soluciones dicen algo diferente. Me pregunto por qué mi representación no es correcta.

¡Muchas gracias por su ayuda de antemano!

Answer 1

Para el punto (i)

1. El valor actual $V'$ en el momento $t=4$ de pagos de $1000$ en el momento $t=2$ es el valor futuro de $1000$ al tipo de interés simple $i=5\%$ para $2$ años utilizando la fórmula $a(n)=a(0)(1+in)$ $$ V'=1000\,(1+2\times 5\%)=1000\times 1.1 $$ y $1.1=(1+2\times 5\%)=\frac{a(4)}{a(2)}$ .
2. El valor actual $V''$ en el momento $t=4$ de pagos de $400$ en el momento $t=7$ es el valor actual de $400$ a la fuerza del tipo de interés $\delta_t$ para $3$ años utilizando la fórmula $a(t)=a(t_0)\mathrm{e}^{\int_{t_0}^t\delta_\tau\mathrm d \tau}$ . Observando que $\mathrm{e}^{\int_{t_0}^t\delta_\tau\mathrm d \tau}=\mathrm{e}^{\int_{t_0}^t\frac{0.2}{1+0.2\tau}\mathrm d \tau}=\mathrm{e}^{\left(\log(\tau+5)\big|_{t_0}^t\right)}=\frac{t+5}{t_0+5}$ tenemos $\frac{a(t)}{a(t_0)}=\frac{t+5}{t_0+5}$ $$ V''=400\times\frac{a(4)}{a(7)}=400\times \frac{4+5}{7+5}=400\times \frac{9}{12} $$
3. El valor actual en $t=4$ entonces es $$ V=V'+V''=1400 $$

Para el punto (ii)

El valor actual $W$ en el momento $t=0$ de un pago de $X$ en el momento $t=10$ es el valor descontado $W'=X\cdot\frac{a(4)}{a(10)}$ en la fuerza de los intereses $\delta_t$ en el momento $t=4$ que luego se descuenta al interés simple $i$ $$ W=\frac{W'}{1+4i}=X\cdot\frac{1}{1+4i}\cdot\frac{a(4)}{a(10)} $$ es decir $$ W=X\cdot \frac{1}{1+4\times 0.05}\cdot \frac{4+5}{10+5}= X\cdot \frac{1}{1.2}\cdot \frac{9}{15}=X\cdot \frac{0.6}{1.2}=\frac{X}{2} $$

Encuentre $X$

Sabemos que $V=W$ , por lo que tenemos $$ 1400=\frac{X}{2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{X=2800} $$