Ecuación de onda con amortiguación espacial

Question

Me gustaría entender la "ecuación de onda espacialmente amortiguada", $$\frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \beta \frac{\partial u}{\partial x}.$$ Me interesa aplicar esta ecuación a una cuerda transversalmente oscilante de longitud finita $L$ y extremos fijos. Aquí, $v$ denota la velocidad de la onda en la cuerda y $u(x,t)$ es la función de alargamiento.

Ahora, solemos tomar $\beta = 0$ y obtener la clásica cuerda oscilante. Si $\beta \neq 0$ Sin embargo, es de esperar que la función de alargamiento se amortigüe a lo largo del $x$ eje de la cadena. ¿Qué tipo de mecanismo físico podría causar $\beta \neq 0$ en la vida real?

Answer 1

Debería ser algo así como una amortiguación proporcional al ángulo de desplazamiento de la cuerda (ángulo entre el estado de equilibrio y el estado real). No conozco ningún modelo de este tipo, pero eso no es una prueba. Si buscas una primera generalización para las ecuaciones de las cuerdas, que el cuerda rígida es más práctico en mi opinión:

$$ a \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - b\frac{\partial^4 u}{\partial x^4} = c \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$$

con $a,b,c$ siendo las constantes del material (ver el enlace).