¿Por qué $L_4$ y $L_5$ ¿puntos lagrangianos estables?

Question

Este diagrama de wikipedia muestra la energía potencial gravitacional del sistema de dos cuerpos sol-tierra, y demuestra claramente la semiestabilidad del $L_1$ , $L_2$ y $L_3$ puntos lagrangianos. Las flechas azules indican menor energía potencial, las rojas mayor, por lo que cualquier movimiento en el plano perpendicular a las masas requeriría energía y sin ella, un objeto allí se asentaría.

Sin embargo, el $L_4$ y $L_5$ se afirma que es estable, aunque las flechas de dirección indican que está en la parte superior de un pozo de gravedad, y caería en una energía potencial más baja en cualquier dirección. ¿Qué es lo que hace que estos puntos sean estables si no es la gravedad? ¿Qué se me escapa?

Answer 1

No estoy seguro de que haya una explicación intuitiva sencilla, pero probemos esto:

Antes de aclarar la razón por la que estos puntos son estables, hay que tener en cuenta lo siguiente: si se tiene un objeto que orbita alrededor de otro (para simplificar) mucho más grande. Este sistema está aislado y contiene una determinada energía total. Ahora bien, si quisiéramos encontrar otras configuraciones de este sistema de dos cuerpos con la misma energía, las encontraríamos disminuyendo la energía potencial (disminuyendo así la distancia entre los dos objetos) en la misma medida en que aumentamos la energía cinética (aumentando la velocidad tangencial), dejando por tanto la energía total del sistema inalterada. Nótese que también podríamos hacer lo inverso. Así que, en resumidas cuentas: Para una energía total dada, el cuerpo en órbita puede estar cerca del objeto central y tener una velocidad tangencial alta, o estar lejos con una velocidad tangencial más baja (ver la 3ª ley de Keppler si quieres saber más sobre cómo se relacionan la distancia y la velocidad).

Así que, volviendo al problema de los tres cuerpos. Para entender por qué la masa pequeña está en un estado de equilibrio estable, puedes dibujar un triángulo equilátero o mirar el satélite en esta imagen : Como el centro de masa (alrededor del cual orbita cada uno de los objetos) NO está en el centro de la masa muy grande, la órbita de la 3ª masa (la luna) está ligeramente dentro de la órbita de la masa pequeña (en la imagen, la órbita de la luna está ligeramente dentro de la órbita del satélite). Si ahora movemos el satélite a lo largo de su trayectoria hacia la luna, no modificamos su distancia radial y por lo tanto no cambiamos su velocidad tangencial (según lo mencionado anteriormente). Lo que hacemos es acercarlo a la luna Y alejarlo de la tierra. Como el satélite sí gira alrededor de la luna (también en el sentido de las agujas del reloj, para hacerte una idea, imagínate en la luna e intenta imaginar cómo verías el satélite.) al acercarlo, disminuimos la energía potencial entre luna-satélite, lo que lleva (desde la conservación de la energía) a un aumento de la velocidad tangencial (en el sentido de las agujas del reloj alrededor de la luna), por lo que el satélite tiende a alejarse de la tierra (y del centro de masa). Al alejarse de la tierra aumentamos su energía potencial respecto a la tierra, lo que le hace girar más lentamente alrededor de la tierra, por lo que tiende a alejarse de la luna (ya que la rotación que describe alrededor de la tierra también es en el sentido de las agujas del reloj. Al alejarnos de la luna, aumentamos la energía potencial entre satélite-luna, por lo que disminuye la velocidad angular. El satélite tiende a moverse hacia la tierra, disminuyendo la energía potencial en el sistema satélite-tierra, por lo que aumenta la velocidad angular acercándolo a la luna,... y volvemos al principio.

Siguiendo esta línea de pensamiento puede quedar más claro por qué estos puntos son estables (por cierto, no depende del sentido de la rotación, intenta pensarlo con la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj). Desgraciadamente esto no es el final de la historia: Podrías hacer el mismo experimento de Gedankene independientemente de las masas reales de la luna y la tierra y siempre encontrarías un punto estable. Lo que realmente es importante, es la relación de masas entre las dos masas. Es sólo en un rango bastante pequeño, donde el punto es estable. Para muchos sistemas, el cambio de distancia entre el satélite y la luna no podría ser contrarrestado por el cambio resultante en la velocidad tangencial (llevando a un cambio compensatorio en la distancia entre el satélite y la tierra) y el satélite dejaría el punto y empezaría a orbitar alrededor de la luna o del sol. Si quieres saber exactamente cómo funciona, mira las matemáticas que hay detrás. Este es una buena descripción del fenómeno.

Espero que eso haya ayudado.

Por cierto: Tenga en cuenta que la fuerza de Coriolis NO existe. Hay que introducirla cuando se utiliza un sistema de referencia acelerado, para compensar la aceleración del sistema de referencia. Normalmente, tendríamos que introducir esta fuerza ficticia al elegir la tierra o la luna como sistema de referencia (ambos están acelerados ya que giran uno alrededor del otro.) Yo recomendaría no empezar a incluir estas fuerzas inexistentes, ya que podrías arriesgarte a confundirlas con las reales. Utiliza el centro de masa como sistema de referencia, y describe el sistema con el uso de coordenadas esféricas. Al derivar el vector unitario, verás términos "extraños" que hay que incluir para la aceleración. Al utilizar entonces la 2ª ley de Newton, estos términos se quedan en el lado de la aceleración y no hay necesidad de inventar nuevas fuerzas.

Answer 2

Como sé, en L4,L5 , el potencial de la fuerza gravitacional está en su máximo, aunque es inusual para la cinemática, que considera que los puntos estables son cuando U->Min , pero en los sistemas dinámicos, los puntos estables pueden ser incluso cuando U->Max , pero entonces lo llamamos "Equilibrio Dinámico" en el sentido de que el objeto realmente se moverá alrededor del punto estable (pero nunca se convertirá en el punto estable en sí, incluso después de pasar el tiempo infinito) (también hay otras diferencias de los puntos estables clásicos). Matemáticamente, esto puede demostrarse utilizando la definición de estabilidad de Lyapunov para los sistemas dinámicos.

P.D. Nunca lo hice por mi cuenta pero nuestro profesor habló de este tema durante nuestro curso de Astrofísica.

Answer 3

Creo que lo que te confunde es el marco de referencia giratorio... Los puntos L4 y L5 están girando alrededor del centro de masa (COM) del sistema Tierra-Sol a la misma velocidad que la Tierra y el Sol orbitan uno alrededor del otro. Así que cuando se hace el experimento mental de lo que le ocurre a una masa puntual en L5 o L4 si se desplaza infinitesimalmente, es más fácil pensar en un marco de referencia inercial. Si en la imagen anterior la Tierra gira en sentido contrario a las agujas del reloj, ésta es una descripción cualitativa de lo que le ocurre a una masa puntual desplazada ligeramente de L5:

• si se desplazara ligeramente lejos/cerca de la COM, no tendría suficiente/tendría demasiada velocidad tangencial para su nueva posición, por lo que empezaría a retrasarse/adelantarse a L5, es decir, a moverse en el sentido de las agujas del reloj/en sentido contrario.
• si se desplaza ligeramente por delante/detrás de L5, es decir, en sentido contrario a las agujas del reloj/alrededor del COM, su velocidad dejará de ser tangencial a su órbita, por lo que empezaría a alejarse/acercase al COM.

Si se combina todo esto, se obtiene que un objeto desplazado desde su posición en L5 entrará en una órbita en el sentido de las agujas del reloj alrededor de L5. Esta órbita es estable si la relación de las masas es mayor que ~25.

Answer 4

Creo que el hecho que estás olvidando (que es fácil, ¡sólo leí el artículo para encontrarlo!) es que en una órbita, el momento angular se conserva. Así que si un objeto en $L_4$ o $L_5$ es perturbado hacia el interior, digamos, entonces se acelera ligeramente y más tarde cruza la órbita. Pero luego se vuelve a frenar. En el marco de referencia giratorio, hay cierto movimiento en torno al punto de Lagrange, pero representa un movimiento en torno al punto estable.

A diferencia de los puntos lagrangianos colineales, los puntos triangulares (L4 y L5) son equilibrios estables (cf. atractor), siempre que la relación de $M_1/M_2$ es mayor que $24.96$ . Este es el caso del sistema Sol-Tierra, del sistema Sol-Júpiter y, por un margen menor, del sistema Tierra-Luna. Cuando un cuerpo en estos puntos es perturbado, se aleja del punto, pero el factor opuesto al que aumenta o disminuye por la perturbación (ya sea la gravedad o la velocidad inducida por el momento angular) también aumentará o disminuirá, doblando la trayectoria del objeto en una órbita estable en forma de riñón alrededor del punto (como se ve en el marco de referencia en rotación).