¿Puedo pensar en esto como un problema de valores propios/vectores propios?

Question

PREMISA: Supongamos que nos dan una matriz $S$ y tienes que encontrar un proyector $P$ (que es una matriz hermitiana que satisface $P^2=P$ ) que es una solución de $$PSP=\lambda(S)P,$$ para $\lambda(S)$ algún número complejo.

PREGUNTA: ¿Puedo manipular esta expresión y hacer que parezca un problema de valores propios convencional? Con esto me refiero a algo de la forma $$M(S)Q(P)=\lambda(S)Q(P),$$ donde $Q(P)$ es un vector de columnas y $M(S)$ es una matriz. Entonces simplemente tendría que obtener la matriz $P$ de la solución $Q$ .

LO QUE HE PENSADO HASTA AHORA: Si pienso en $P$ como un `vector de filas' y escribir $$(PS)P_i=\lambda(S)P_i\quad\forall i,$$ donde $P_i$ es el $i$ -en la fila de $P$ parece que estoy buscando los vectores propios de $PS$ pero esto no es casi ningún progreso, porque $P$ sigue en $PS$ ... ¡Cualquier idea sería muy apreciada!

Answer 1

Si encuentras un vector propio $v$ para $S$ con valor propio $\lambda$ , puede entonces tomar $P$ para ser la proyección sobre el tramo de $v$ concretamente, $$ P=\frac1{(v^*v)^{1/2}}\,vv^*. $$ Esto funciona, porque si $Sv=\lambda v$ entonces para cualquier $x$ tienes $SPx=\lambda Px$ y así $PSPx=Px$ . Como esto es válido para cualquier $x$ , usted tiene $PSP=\lambda P$ .