Dejemos que $E,F$ y $G$ sean espacios vectoriales sobre el campo $\Gamma$ y que $\phi:E\times F \to G$ sea un mapa homogéneo de grado $k \in \mathbb N$ es decir, $$ \phi(ax,ay) = a^k\phi(x,y), \qquad \forall x \in E, y \in F a \in \Gamma $$ ¿Existe una propiedad universal para este tipo de mapas? Es decir, ¿existe un par $(\odot,H)$ où $\odot$ es un mapa homogéneo de grado $k$ en $E\times F$ en $H$ (un espacio vectorial) tal que para cada mapa homogéneo (grado $k$ ) $\phi$ existe una línea $f$ tal que $f\circ \odot = \phi$ ?
Mi intento:
Dejemos que $C(E\times F)$ sea el espacio vectorial libre sobre el $E\times F$ y dejar que el $N$ sea el subespacio generado por todos los elementos de la forma $$ (ax,ay) - a^k(x,y) $$ Consideremos ahora la proyección canónica $\pi:C(E\times F) \to C(E\times F)/N$ , entonces define el mapa lineal $h:C(E\times F) \to G$ tal que $h((x,y)) = \phi(x,y)$ . Se puede demostrar que $N \subset \ker h$ . Entonces, por la propiedad universal de los mapas cocientes, existe un único mapa lineal $f:C(E\times F)/N \to G$ tal que $f \circ \pi = h$ . Si la restricción de $\pi$ a $E\times F$ se denota $\odot$ entonces este es un mapa homogéneo de grado $k$ y se deduce que $f\circ\odot=\phi$ y si $C(E\times F)/N$ se denota $H$ entonces tenemos el par $(\odot,H)$ .
Por favor, comenten, me gustaría saber si hay algún error, o si existe esta propiedad unversal de los mapas homogéneos. ¡Gracias de antemano!
Añadido
Tengo los siguientes dos comentarios sobre esta construcción:
I . Esta construcción puede realizarse para mapas homogéneos $\phi:V_1\times\cdots\times V_n \to W$ siempre que el subespacio $N$ de $C(V_1\times\cdots\times V_n)$ se modifica en consecuencia, es decir, para ser generado por todos los elementos de la forma $(av_1,\cdots,av_n)-a^k(v_1,\cdots,v_n)$
II . La base de $H$ para el caso de un espacio Vectorial $n=1$ con finito dimensión $d > 1$ y más $\mathbb R$ o $\mathbb C$ es incontablemente infinito. Ya que tales mapas están determinados por su acción sobre todas las líneas que pasan por el origen. Para ver esto, toma una base en $V$ entonces cada dirección está determinada por $d-1$ números, y hay incontables direcciones infinitas para determinar la acción de $\phi$ en ellos.
A diferencia de ( $p$ -)mapas lineales en $V$ en $V$ (por ejemplo), que sólo requiere $d^{(p)}\cdot d$ números para determinar un ( $p$ -) mapa lineal, (espacio de producto tensorial de dimensión finita.)
