Integración por partes en $\sqrt{1+x^2}dx$

Question

Me han pedido que demuestre que $$\int\sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\int\frac{1}{{\sqrt{1+x^2}}}dx$$

Sé cómo hacer esto con la sustitución trigonométrica, pero la pregunta se refiere específicamente a la integración por partes, y los únicos ejemplos que puedo encontrar siguen utilizando subs trigonométricos.

Hasta ahora me he integrado dos veces. La primera vez fue con $u=\sqrt{1+x^2},v'=1$ . Resultando lo siguiente:

$$\int\sqrt{1+x^2}dx=x\sqrt{1+x^2}-\int\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$$

El primer término es casi correcto. Integrando esta nueva integral, con $u=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, v'=1$ . Me dio lo siguiente:

$$\int\sqrt{1+x^2}dx=x\sqrt{1+x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{2}\int\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$$

A partir de aquí estoy bastante atascado. No puedo averiguar cómo se supone que debo deshacerme del término medio. La integral final se puede poner en la forma correcta si divido por $x$ pero entonces el primer término pierde su $x$ escalar y sigo sin poder soltar el término medio.

Me da la impresión de que me he equivocado en una de las integraciones, pero llevo tanto tiempo mirando por encima que todo está borroso.

Answer 1

Empezar con la integración por partes $$v=x, \ dv=dx$$ $$u=\sqrt{1+x^2}, \ du=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$$ Por lo tanto, \begin{align*}\int \sqrt{1+x^2}dx&=x\sqrt{1+x^2}-\int\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx \\ &=x\sqrt{1+x^2}-\int\frac{(1+x^2)-1}{\sqrt{1+x^2}}dx\\ &=x\sqrt{1+x^2}-\int\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx+\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\\ &=x\sqrt{1+x^2}-\int\sqrt{1+x^2}dx+\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}dx.\end{align*} Sólo hay que añadir $\int\sqrt{1+x^2}dx$ a ambos lados. Esto significa que $$2\int\sqrt{1+x^2}dx=x\sqrt{1+x^2}+\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$$ o $$\int\sqrt{1+x^2}dx=\frac12x\sqrt{1+x^2}+\frac12\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Answer 2

Método alternativo, pero no tan diferente de la otra respuesta: \begin{align} \int\sqrt{1+x^2}\,dx &= \int\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx \\[6px] &=\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx+ \int x\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx \qquad \biggl(u=x, v'=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\biggr) \\[6px] &=\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx+x\sqrt{1+x^2}-\int\sqrt{1+x^2}\,dx \end{align} Por lo tanto, $$ 2\int\sqrt{1+x^2}\,dx = x\sqrt{1+x^2}+\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx $$