¿Qué son las bases, en realidad?

Question

Estoy tomando un curso de Álgebra Lineal en este momento, y estoy teniendo un tiempo difícil de envolver mi cabeza alrededor de las bases, sobre todo porque mi profesor no lo explicó completamente. Me gustaría saber qué son las bases. Además, ¿puede haber varias bases diferentes para un mismo subespacio?

Gracias de antemano.

Answer 1

Son subconjuntos que "capturan eficazmente" el resto del espacio vectorial. Una especie de esqueleto, por así decirlo, o tal vez como la compresión de un archivo informático.

Esto significa que se puede recuperar cada uno de los otros elementos del espacio utilizando sólo las operaciones (multiplicación escalar y suma) y, además, había una forma exacta (en cierto sentido) de generar cada elemento.

Por último, las transformaciones lineales (principal objeto de estudio) están completamente determinadas por lo que hacen a una base. Puedes ver cómo esto facilita las cosas en los espacios vectoriales de dimensión finita si puedes olvidarte del número potencialmente infinito de vectores y sólo centrarte en lo que hace un subconjunto finito, y confiar en que los otros elementos sigan su camino.

Puede ocurrir que un subespacio tenga infinitos conjuntos distintos que sean bases. Incluso para un $1$ espacio dimensional sobre un campo infinito, hay infinitos.

Answer 2

Aunque llego un poco tarde al juego, pensé que otra perspectiva podría ayudar.

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Considere el siguiente ejemplo físico. Ahora, sin ser demasiado pedante con la definición, una base para un espacio vectorial es muy parecida a un bloque de construcción de un sistema biológico. Podemos construir un cuerpo humano a partir de un conjunto de células. Es decir, podemos construir todos los aspectos de nuestra anatomía a partir de un determinado conjunto de células (por ejemplo, células nerviosas, células sanguíneas, células germinales, células epiteliales, etc.). Así, si tomamos nuestros distintos tejidos como vectores entonces tenemos como base nuestras células.

Pero ciertamente podríamos tener otra base biológica a partir de la cual construir nuestro vectores biológicos . A saber, las biomoléculas. De hecho, podríamos expresar nuestra otra base definida utilizando esta base. Así, nuestra espacio vectorial biológico tiene más de un base biológica .

Algunos podrían argumentar que aquí no hay una "correspondencia completa" con la noción matemática de una base para un espacio vectorial porque, por ejemplo, ¿cómo se podría exhibir un cambio de base de biomoléculas a células (es decir, cómo se expresa una biomolécula como "combinación lineal" de células)? Pero yo sostengo que la idea de bloques de construcción capta el espíritu subyacente de una base para una primera pasada.