Dejemos que $\mathcal F$ sea una familia tal que $A\in\mathcal F$ para algún conjunto $A$ . Entonces $\;\cap\mathcal F\subseteq\cup\mathcal F$ .
No he entendido muy bien las operaciones con familias y no sé cómo empezar esta pregunta.
Editar: $\;\cap\mathcal F\subseteq\cup\mathcal F\;$ significa para cualquier $\;x,\;x\!\in\cap\mathcal F\!\implies\!x\!\in\cup\mathcal F$
Edición 2: Aquí está la pregunta de mi libro de texto.
Edit3: Así es como mi libro de texto define a la familia
Por ejemplo,
En primer lugar, el requisito de que $A\in\mathcal F$ para algunos $A$ es lo mismo que decir que ese $\mathcal F$ no está vacío. Esto es para asegurar que $\bigcap \mathcal F$ es un conjunto. De hecho, $\bigcap \emptyset$ no es objeto de nuestra teoría, ya que $$ x\in\bigcap\emptyset \iff \forall y\in\emptyset (x\in y)\iff \forall y(y\in\emptyset \to x\in y) $$ Como el antecedente es falso, la implicación de la derecha es verdadera para cualquier $x$ . Así que, $\bigcap \emptyset$ tendría cada conjunto como elemento, lo que no tiene sentido por la Paradoja de Russell.
Para demostrar que $\bigcap \mathcal F\subset \bigcup\mathcal F$ , arreglar $x\in\bigcap \mathcal F$ . Esto significa que $\forall X\in F(x\in X)$ . En particular, $x\in A$ para nuestro distinguido $A$ . Ahora, $x\in \bigcup\mathcal F$ significa exactamente eso $x\in X$ para algunos $X\in\mathcal F$ . Pero $A$ es uno de esos conjuntos. Por lo tanto, ya que $x\in A$ deducimos que $x\in\bigcup\mathcal F$ .
Desde $x\in \bigcap\mathcal F$ fue arbitraria, concluimos que $\bigcap \mathcal F\subset\bigcup\mathcal F$ .
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