Grupos inducidos de transformaciones lineales

Question

Estoy trabajando en un problema de Álgebra Básica II y estoy teniendo algunos problemas para entender cómo proceder. La pregunta es la siguiente:

Sea G un grupo de transformaciones lineales en un espacio vectorial finito dimensional V sobre un campo algebraicamente cerrado F tal que existe un número entero $m$ no divisible por la característica de F tal que $a^m$ = 1 para todo a $\in$ G. Demostrar que G es finito.

La cuestión sugiere proceder por inducción en la dimensionalidad mientras se consideran los subespacios invariantes. Suponiendo que $U$ es un subespacio estabilizado por $G$ se nos pide que busquemos grupos inducidos de transformaciones en $U$ y $V/U$ . ¿Qué son estos grupos inducidos? Creo que me falta algo muy sencillo.

Answer 1

Si $G$ estabiliza $U$ , entonces cada elemento $g\in G$ se limita a una transformación lineal $g|_U:U\to U$ . El conjunto de todas estas restricciones $g|_U$ es un grupo $G'$ de transformaciones lineales de $U$ y así se puede intentar aplicar la hipótesis de inducción a $G'$ .

Del mismo modo, cada elemento $g\in G$ induce un mapa $V/U\to V/U$ definido por $g(v+U)=g(v)+U$ (esto está bien definido ya que $g$ mapas $U$ a sí mismo). Estos mapas $V/U\to V/U$ formar un grupo $G''$ de transformaciones lineales de $V/U$ al que se puede intentar aplicar la hipótesis de la inducción.

Por último, para demostrar que $G$ es finito, querrás demostrar que si ambos $G'$ y $G''$ son finitos, $G$ debe haber sido finito. En este paso tendrás que usar la suposición de que $m$ no es divisible por la característica de $F$ .