Propiedades del conjunto $\mathrm {orb} (x)$

Question

Propiedades del conjunto $\mathrm {orb} (x)$ :

${\displaystyle \bigcup_{x\in X}\mathrm{orb}(x)=X}$ ;

$\mathrm{orb}(x)\cap\mathrm{orb}(y)=\emptyset$ para todos $x,y\in X, x\neq y$

¿Cómo probarlo? Por favor, ayuda.

Apéndice: Deja $\phi: G \times X \longrightarrow X$ - acción del grupo G sobre el conjunto no vacío $X$ . El conjunto $\mathrm {orb} (x) = \{ \phi (g,x) \in X: g \in G \}$ llamada órbita de $x \in X$

Answer 1

Esta afirmación es falsa:

$\text{orb}(x)\cap \text{orb}(y)=\emptyset$ para todos $x,y\in X$ tal que $x\not= y$

En cambio, creo que quiere decir que $X$ se divide en órbitas disjuntas bajo la acción de $G$ . Esto viene dado por el hecho de que la relación $x \sim y \Leftrightarrow y\in \text{orb}(x)$ es una relación de equivalencia. Aquí es una prueba de ese hecho.

Answer 2

Y puede que no sea así..:

Supongamos que hay $a \in X$ tal que $a \in \mathrm {orb} (x) \cap \mathrm {orb} (y)$ para todos $x, y \in X$ , donde $x \neq y$ . Esto significa que $a \in \mathrm {orb} (x)$ y $a \in \mathrm {orb} (y)$ para todos $x, y \in X$ Es decir $\mathrm {orb} (x)$   y $\mathrm {orb} (y)$ son dos órbitas que tienen un elemento común. Por definición, existe $g \in G$ , de tal manera que $a = \phi (g, x)$ . Por lo tanto, para algunos $g \in G$

$\mathrm {orb} (a) = \mathrm {orb} (\phi (g, x)) = \{ \phi (h, \phi (g, x) ) \in X : h \in G \} = \{ \phi (hg, x) \in X: h \in G \} = \mathrm {orb} (x)$ .

De la misma manera, $\mathrm {orb} (a) = \mathrm {orb} (y)$ . Así, $\mathrm {orb} (x) = \mathrm {orb} (y)$ . Por lo tanto, obtenemos que si un elemento pertenece a $\mathrm {orb} (x) \cap \mathrm {orb} (y)$ Estas órbitas deben ser iguales.

Obtenemos que cada dos órbitas son disjuntas o iguales, por lo que $X$ es la suma de órbitas disjuntas.