Déjalo:
$G$ sea un grupo finito.
$p$ sea un número primo.
$P$ sea un subgrupo Sylow-p de $G$ .
Si $p\mid o(G)$ y para cada $(a,b)\in G$ , $(ab)^p=a^pb^p$ Por favor, ayúdame a probar lo siguiente:
(1) $P\triangleleft G$ .
(2) Hay $N\triangleleft G$ para que $PN=G$ y $P\cap N=1$ .
(3) $Z(G)\ne 1$ cuando $Z(G)$ es el centro de $G$ .
Respuesta
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Aquí está la solución;
Dejemos que $f_k$ sea función de $G$ a $G$ con $f_k(x)=x^{(p^k)}$ donde k es un número entero positivo, entonces $f_k$ es un homomorfismo ya que $(ab)^p$ = $a^p b^p$ $\implies$ $(ab)^{p^k}$ = $a^{p^k} b^{p^k}$ .
Ahora dejemos que $P\in Syl_P(G)$ y $|P|=p^n$ entonces como dijimos $f_n$ es un homomorfismo y se puede ver fácilmente que $Ker(f_n)$ es el conjunto de todos los elementos de $G$ que tiene un orden que es igual a una potencia de $p$ así que.., $Ker(f_n)$ es un grupo p que contiene $P$ por la maximización de $P$ , $P=Ker(f_n)$ .
$Im(f_n)$ también es un subgrupo de $G$ y no tiene ningún elemento que tenga un oreder que es un poder de $p$ .así, $Ker(f_n)\cap Im(f_n)=$ { $1$ }.Let $x\in Im(f_n)$ entonces $x=g^r$ para algunos $g$ en $G$ donde $r=p^n$ entonces $h^{-1}xh=h^{-1}g^rh=(h^{-1}gh)^r$ así $h^{-1}xh\in Im(f_n)$ $\implies$ $Im(f_n)$ es normal en $G$ .
Entonces $G\cong PxN$ Donde $P=Ker(f_n)$ y $N=Im(f_n)$ $\implies$ $Z(G)\cong Z(P)xZ(N)$ desde $Z(P)$ es no trivial ya que es centro del grupo p entonces $Z(G)$ no es trivial.
