¿Por qué la propiedad del valor intermedio de las medidas no contradice la aditividad?

Question

He razonado hasta llegar a una contradicción y no veo en qué me he equivocado.

Una medida finita $m$ en $(X, \mathcal{B})$ asigna una medida positiva a un número máximo de conjuntos medibles disjuntos. Si $m$ es no atómica y no nula, entonces para algún conjunto medible $A$ con $m(A) > 0$ y todos $0 \leq r \leq m(A)$ existe una medida $B_r \subset A$ con $m(B_r)=r$ .

Dado que hay un número incontable de tales $r$ hay un número incontable de $C \subset A$ de la forma $C = B_{r_1} - B_{r_2}$ , $r_1 > r_2$ y cada $C$ tiene una medida positiva. Contradicción.

Creo que lo que está mal es "hay incontablemente muchos disjuntos $C \subset A$ de la forma...", pero no puedo demostrar por qué es falso.

Answer 1

Asumo que sus conjuntos $\{B_r\}$ están anidados.

Si escribe $C_{a,b}$ para indicar $B_{a} \setminus B_{b}$ se puede ver que dos conjuntos de la forma $C_{a,b}$ y $C_{p,q}$ son disjuntos si los intervalos $(b,a)$ y $(q,p)$ no se superponen. No es posible encontrar un número incontable de intervalos no superpuestos, ya que cada intervalo debe contener un número racional único para ese intervalo.