Integral de Riemann-Stieltjes de una función continua positiva

Question

Esta pregunta está relacionada con esta pregunta (para lo que todavía no sé la respuesta). Allí afirmo este resultado pero para Riemann-Stieltjes así:

Si $f,\alpha$ son continuos y $\alpha$ creciente, $f\geq0$ y $\int_a^b f(x)d\alpha=0$ entonces $f=0$ .

Intenté seguir la misma prueba pero nunca uso la continuidad de $\alpha$ ...así que creo que está mal... ¡lo que me hace preguntarme si esto es verdad! Parece cierto porque $\alpha$ es creciente, por lo que en las sumas tenemos un término que será $>0$

Answer 1

Estoy asumiendo que $\alpha$ es estrictamente creciente.

Supongamos que $f(x^*) >0$ y que $x_1\le x^* \le x_2$ con $x_2-x_1 >0$ sea tal que $f(x) \ge \epsilon >0 $ para $x \in [x_1,x_2]$ .

A continuación, considere la partición $P=(a, x_1, x_2,b)$ . Entonces $L(f,P,\alpha) \ge \inf_{x \in [x_1,x_2]} f(x) (\alpha(x_2)-\alpha(x_1)) \ge \epsilon (\alpha(x_2)-\alpha(x_1)) >0$ .

Desde $\sup_\pi L(f,\pi,\alpha) = \int_a^b f d \alpha = 0$ obtenemos un contradicción.

No necesitas $\alpha$ sea continua, sólo estrictamente creciente.