demostrar que el ángulo es de 90 grados

Question

Dado el triángulo ABC, dibuje AD, donde D es el medio de BC. Si el ángulo BAD es 3 veces el ángulo DAC y el ángulo BDA es de 45 grados, entonces demuestre que el ángulo BAC es de 90 grados. Intenté dibujar una línea paralela a BA y comparar los triángulos congruentes, después de extender AD para encontrar la línea paralela, pero no obtuve ningún resultado para demostrar que BAC es de 90 grados.

Answer 1

Aquí hay una prueba trigonométrica.

Dejemos que $x=\angle DAC$ Entonces $3x=\angle BAD$ . Sea $y=BD=DC$ . Entonces un poco de persecución de ángulos da $\angle ABC=135^{\circ}-3x$ y $\angle ACB=45^{\circ}-x$ . Por la ley de los senos, \begin{align*} \frac{y}{\sin 3x} &= \frac{AD}{\sin(135^{\circ}-3x)} \\ \frac{y}{\sin x} &= \frac{AD}{\sin(45^{\circ}-x)}, \end{align*} para que $$\frac{\sin(135^{\circ}-3x)}{\sin 3x} = \frac{\sin(45^{\circ}-x)}{\sin x}.$$ Expandiendo los numeradores y simplificando se obtiene $$\cot 3x+1 = -1+\cot x-1,\text{ or }\cot 3x = -2+\cot x.$$ Escribir $\cot 3x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x}$ y usando la fórmula del triple ángulo, entonces reescribiendo en términos de $\cot x$ , da $$\frac{\cot^3 x-3\cot x}{3\cot^2 x-1} = -2+\cot x.$$ Finalmente, juntando términos y simplificando, obtenemos $$2 \cot ^3 x-6 \cot ^2 x+2\cot x +2 = 2(\cot x-1)(\cot^2 x-2\cot x-1)=0.$$ Así, $\cot x=1$ o $\cot x = 1\pm\sqrt{2}$ . El único de ellos que produce un ángulo para $\angle BAC$ entre $0$ y $180^{\circ}$ es $\cot x = 1+\sqrt{2}$ , lo que da $x = \frac{\pi}{8}$ para que $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$ .