Convergencia de la secuencia en función del valor inicial

Question

Estoy considerando la secuencia $a_{n+1}=a_n^2-1$ y quiero examinar para qué valores de $a_1\in\mathbb{R}$ la secuencia converge. Sé que si converge, converge a $\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ . ¿Alguna pista sobre cómo abordar este problema?

Answer 1

Si $f(x)=x^2-1$ entonces $|f^{\prime}(x)|=|2x|>1$ para $x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ por lo que ambos puntos de equilibrio son localmente inestables. Por lo tanto, la secuencia sólo convergerá para valores de $a_1$ que finalmente se asignan a

$\phi_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\;$ o $\;\;\phi_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ por $f(x)$ ,

como $\;\;\pm\phi_{1}, \pm\phi_{2}, \pm\sqrt{\phi_{1}}, \pm\sqrt{1+\phi_{1}}, \pm\sqrt{1+\sqrt{1+\phi_{1}}},\cdots$