Se necesita la solución exacta de una ecuación diferencial no lineal, si es posible

Question

Me gustaría saber cómo resolver la EDO

$$\ddot{x} = \frac{x}{1 + ax^2}.$$

Esta ecuación representa el mecanismo básico que interviene durante la aceleración de la masa de un objeto mediante un volante de inercia. Dado que la masa se acelera en la pista radial que atraviesa el volante, la transferencia de momento del volante a la masa que se acelera produce una disminución de la velocidad angular del volante. La solución de esta ecuación permitiría el seguimiento del cambio de velocidad angular del Volante en el tiempo. Para simplificar la presentación, la referencia radial $r$ ha sido sustituido por " $x$ " y " $a$ "representa una constante. La derivada de $x$ es en términos de tiempo " $t$ ".

Answer 1

Su ecuación diferencial es autónoma. Por lo tanto, la sustitución $\dot{x} = f(x)$ te lleva a

$$f(x) f'(x) = \frac{x}{1 + ax^2},$$

que es una ecuación diferencial separable para $f(x)$ con solución (implícita)

$$f^2(x) = \frac{\ln(1 + ax^2)}{a} + c,$$

donde $c$ es una constante de integración. Para obtener $x = x(t)$ Ahora tienes que resolver

$$\int \frac{\mathrm d x}{f_i(x)} = \int \mathrm d t$$

para obtener una solución al menos implícita para $x$ . Dudo que exista una forma cerrada para esto.