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La fórmula de Balmer y los polinomios de Lagurre

¿Cómo puedes explicar la fórmula de Balmer utilizando las propiedades de los polinomios de Laguerre? Es una pregunta de deberes pero realmente no lo entiendo. 1.¿Cuál es la propiedad de los polinomios de Lagurre en primer lugar? 2.¿Cómo se relaciona la fórmula de Balmer con los polinomios de Lagurre?

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ghostly606 Puntos 6

Cuando se resuelve la ecuación de Schrodinger se incluyen diferentes potenciales dependiendo del problema en cuestión, por ejemplo, partícula en una caja, oscilador armónico, átomo H, etc. A continuación, se aplican las condiciones de contorno; para una partícula en una caja, por ejemplo, la función de onda tiene que ser cero en cualquiera de los extremos de la caja y esto garantiza que las soluciones se cuantifican, es decir, la función de onda depende tanto de la posición x y un número entero n y la energía también depende de un número entero.

Las diferentes soluciones de los distintos tipos de ecuaciones diferenciales fueron elaboradas hace muchos años, y a menudo por matemáticos franceses, por lo que las soluciones polinómicas obtenidas suelen llevar sus nombres, Laguerre, Hermite, Legendre y Chebychev (aunque era ruso). Todos estos polinomios dependen de la posición x y uno o más enteros. Los polinomios de Hermite, por ejemplo, que forman las soluciones del oscilador armónico, se suelen etiquetar como $H_n(x)$ donde se encuentran diferentes polinomios con $n=0,1,2 ...$ Por ejemplo $H_0(x)=1, H_1(x)=1, H_2(x)=4x^2-2 \cdots$ .

Al resolver el átomo H, las soluciones radiales y angulares se separan y se resuelven independientemente. El asociado Polinomios de Laguerre ( $L_n(x)$ ) se utilizan para encontrar las soluciones radiales, y las soluciones angulares dependen de los polinomios armónicos esféricos que a su vez dependen del asociado Polinomios de Legendre $P_l^m(\cos(\theta)$ .

(Notas. Los polinomios se describen a menudo mediante fórmulas de recursión, lo que significa que una vez que se conoce el primer par, el resto se encuentra fácilmente. El asociado se encuentran mediante la diferenciación repetida del polinomio, a través de las fórmulas de Rodrigues. Los polinomios son ortogonales).

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