La idea clave es que como $X$ es Hausdorff, cualquier subespacio compacto del mismo es cerrado, y por tanto $A$ y $B$ son ambos cerrados en $X$ . Esto le permite conocer la topología de $X$ y no sólo las topologías de $A$ y $B$ . En particular, puede cubrir $X$ con conjuntos abiertos que se retraen por deformación a $A$ y $B$ (y cuya intersección es contráctil), que es lo que se necesita para utilizar van Kampen. Por ejemplo, se puede tomar $U$ para ser $A$ junto con un pequeño disco abierto alrededor del punto de intersección en $B$ y $V$ para ser $B$ junto con un pequeño disco abierto alrededor del punto de intersección en $A$ . (Ejercicio: utilizar el hecho de que $A$ y $B$ son ambos cerrados en $X$ para demostrar que $U$ y $V$ realmente están abiertos en $X$ .) Para demostrar que $U$ realmente la deformación se retrae a $A$ por ejemplo, se puede volver a utilizar el hecho de que $A$ y $B$ están cerradas en $X$ de modo que por el lema de pegado se puede comprobar que una homotopía es continua simplemente comprobando que es continua por separado en $A$ y $B$ .
Tenga en cuenta que si $X$ no es Hausdorff, entonces pueden ocurrir todo tipo de cosas horribles. Por ejemplo, dejar que $T$ sea un toroide y $S$ sea $\{0,1\}$ con la topología indiscreta, entonces $X$ podría ser $T\times S\setminus\{(x,1)\}$ para algún punto $x\in T$ . A continuación, puede escribir $X$ como la unión de subespacios $A=T\times\{0\}$ y $B=(T\setminus\{x\})\times\{1\}\cup\{(x,0)\}$ que son cada una homeomórfica a $T$ y se cruzan sólo en $(x,0)$ . En este caso la proyección $X\to T$ es en realidad una equivalencia homotópica, por lo que $\pi_1(X)$ no es el producto libre de $\pi_1(A)$ y $\pi_1(B)$ . Y este es uno de los ejemplos más suaves de lo que podría pasar si $X$ no es Hausdorff; hay muchas otras posibilidades más complicadas.
