El universo construible de Gödel en la lógica infinita (una posible aproximación al problema HOD)

Question

El universo construible de Gödel ( $L$ ) se define utilizando el operador de conjunto de potencias definible en la lógica de primer orden ( $\mathcal{L}_{\omega ,\omega}$ ). Se puede producir un universo de este tipo en las lógicas infinitas de la misma manera utilizando las correspondientes nociones de fórmulas y definibilidad. Evidentemente, $L$ se hace más grande cuando la lógica tiene más poder de expresión.

Para cada cardenal $\kappa$ definir $L_{\kappa}$ para ser el universo construible de Gödel en la lógica infinita $\mathcal{L}_{\kappa,\kappa}$ y $L_{\infty}$ es el universo construible de Gödel en $\mathcal{L}_{\infty,\infty}$ .

(1) ¿Es $L_{\kappa}$ un modelo de $ZFC$ para cada cardenal $\kappa$ ? ¿Qué pasa con $ZFC+GCH$ ?

(2) ¿Qué es $L_{\infty}$ ?

(3) ¿Existe un cardenal (posiblemente grande) $\kappa$ tal que $L_{\kappa}$ es el modelo central de Dodd-Jensen, $L[U]$ , $HOD$ ¿ etc.?

(4) ¿Cuáles son las fuerzas de consistencia de la existencia de incrustaciones elementales no triviales de $\langle L_{\kappa},\in\rangle$ a sí mismo para diferentes $\kappa$ s en el sentido de la lógica infinita $\mathcal{L}_{\kappa,\kappa}$ ?

Tenga en cuenta que por la respuesta del Prof. Hamkins para $L_{\infty}$ finalmente llega a la inconsistencia de Kunen pero ¿qué pasa con un determinado cardenal $\kappa$ ? ¿Están todas estas fuerzas de consistencia para diferentes cardinales acotadas por algún axioma de cardinal grande y hay una brecha entre la fuerza de consistencia de la existencia de una incrustación elemental no trivial de $\langle L_{\infty},\in\rangle$ a sí mismo y las fortalezas de consistencia de la existencia de tales incrustaciones elementales para $L_{\kappa}$ s?

(5) Si hay un cardenal $\kappa$ tal que $L_{\kappa}=HOD$ ¿es posible determinar la fuerza de consistencia de la existencia de una incrustación elemental no trivial (de primer orden) a partir de $\langle HOD,\in\rangle$ a sí mismo analizando la velocidad de crecimiento de la fuerza de consistencia de la existencia de tales incrustaciones para $\langle L_{\lambda}, \in\rangle$ s en $\lambda <\kappa$ ?

(6) ¿Qué es $L_{\kappa}$ para el cardinal menos fuertemente compacto $\kappa$ ?

Answer 1

Teorema. $L_\infty$ es todo el universo teórico de conjuntos $V$ .

Prueba. Afirmo que todo conjunto surgirá en el proceso de construcción, porque eventualmente será definible explícitamente por una fórmula. En la lógica infinita, hay mucho más que sólo un número contable de fórmulas, y uno puede cocinar una fórmula para definir un conjunto específico, utilizando las fórmulas que definen sus elementos. Lo que afirmo concretamente es que para cada conjunto $a$ hay un ${\cal L}_{\infty,\infty}$ fórmula $\psi_a(x)$ , tal que en cualquier conjunto transitivo $M$ con $a\subset M$ tenemos $a=\{ x\mid M\models\psi_a(x)\}$ . Supongamos que esto es cierto para cada $a\in A$ . Considere la fórmula $$\psi_A(u)=\bigvee_{a\in A}(u=\{x\mid \psi_a(x)\}).$$ En cualquier transitivo $M$ con $A\subset M$ se deduce que $\psi_A(u)$ se mantendrá si y sólo si $u=a$ para algunos $a\in A$ . Así, $A=\{u\mid M\models \psi_A(u)\}$ y así $A$ también es definible. Así, por $\in$ -hemos comprobado que todo conjunto es definible, por lo que todo conjunto en $V$ eventualmente surge en tu universo $L_\infty$ . QED

Este argumento es similar al hecho de que si uno emprende el universo construible utilizando la lógica de segundo orden, en lugar de la lógica infinita, el resultado es $\text{HOD}$ .

Teorema. (Myhill & Scott) El universo construible en la lógica de segundo orden es el mismo que el HOD. $$L_{SO}=\text{HOD}.$$

Prueba. Cualquier conjunto que aparezca en $L_{SO}$ es definible ordinalmente, por lo que $L_{SO}\subset \text{HOD}$ . Por el contrario, si $A$ es un conjunto de ordinales en $\text{HOD}$ , entonces es definible ordinalmente en algún $V_\alpha$ y así una vez $L_{SO}$ ha construido hasta cierto punto $\theta$ de un tamaño mínimo $|V_\alpha|$ entonces en la lógica de segundo orden podemos definir $A$ como subconjunto diciendo "hay una relación en $\theta$ lo que la hace isomorfa a $\langle V_\alpha,\in\rangle$ , tal que la fórmula es verdadera para los ordinales correspondientes. Es decir, la lógica de segundo orden nos permite invocar una copia de $V_\alpha$ y ejecutar las definiciones dentro de él. QED

Para una referencia, véase Myhill, Scott, Definibilidad ordinal. 1971 Axiomatic Set Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., (1967) pp. 271-278 Amer. Math. Soc., Providence, R.I. .

Sus modelos $L_\kappa$ surgen en el artículo de Chang en el mismo número de la revista:

C.C. Chang, Conjuntos construibles con $L_{\kappa,\kappa}$ 1971 Axiomatic Set Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967) pp. 1-8 Amer. Math. Soc., Providence, R.I.

Resumen de MR. Dejemos que $C_\alpha^\omega$ sea el αº nivel de la jerarquía ramificada de conjuntos construibles de Gödel. El autor estudia la jerarquía $C_α^κ$ que resulta al utilizar $L_{κκ}$ definibilidad (en lugar de $L_{ωω}$ definibilidad) al generar esta jerarquía, donde κ es un cardinal regular. La clase $C_κ=⋃_αC_α^κ$ es un modelo de ZF; de hecho, es el modelo transitivo más pequeño que contiene todos los ordinales cerrados bajo secuencias de <κ términos (Teoremas I y II). No es necesario que sea un modelo del axioma de elección (Teorema IV). Otros resultados muestran lo que ocurre con el GCH y el resultado de Scott sobre cardinales medibles en este modelo. Estos resultados dependen de una generalización del lema de colapso de Gödel (Teorema V). Finalmente, el autor muestra cómo mejorar los resultados sobre indiscernibles en $C_ω$ utilizando fórmulas infinitas. En particular, demuestra que si existe un cardinal de Ramsey entonces $C_{ω_1ω}$ es un $L_{ω_1ω}$ -subestructura elemental de $C_ω$ , mejorando así el resultado de Silver.

El caso $\kappa=\omega_1$ es conocido como el Chang modelo.