Prueba bicondicional - No sé si me equivoco

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo. Demuestre que $n^3 + 1$ es impar si y sólo si $n^2 1$ es impar.

¿Qué tipo de pruebas has utilizado?

Elegí la prueba directa;

$$n^3 + 1 = (2k+1)^3 +1 = 2(k^3+k^2+k+1) = 2k~$$

$$n^2 - 1 = (2k+1)^2 -1 = 2(2k^2+2k+1) = 2k~$$

$$LHS = RHS$$

¿Estoy haciendo algo mal? Me parece que esto es demasiado sencillo. ¿Me estoy perdiendo de incluir el " $n$ sea un número entero positivo" en alguna parte de mi prueba?

Gracias de antemano.

Answer 1

Ha demostrado que si $n$ es impar el $n^k-1$ es incluso para $k=2,3$ .

Sugerencia para su declaración:

$n^3 + 1$ es impar si $n^3$ es par si $n$ es par si $n^2$ es par si $n^2-1$ es impar.

Answer 2

$$n^3+1-(n^2-1)=n^2(n-1)+2$$

Ahora como $n(n-1)$ es par para todos los enteros $n,$

y $n(n-1)$ divide $n^2(n-1),$

$n^2(n-1)+2$ es incluso

$\implies n^3+1,n^2-1$ deben tener la misma paridad.

Answer 3

Si $n^2-1$ es impar, $n$ está en paz. Por lo tanto, $n^3$ es par, por lo tanto $n^3+1$ es impar.

Answer 4

Aquí hay una prueba condicional directa de que si n denota un número entero positivo, entonces n^3 + 1 es impar si y sólo si n^2 - 1 es impar:

1) SUPUESTO: n denota un número entero positivo.

2) El número n es impar, o n es par - según el paso 1).

3) Si n^3 + 1 es impar, entonces n^2 - 1 es impar.

    DIRECT CONDITIONAL SUBPROOF

    a)      Assumption:  n^3 + 1 is odd.

    b)      The number n is even.

            DIRECT NON-CONDITIONAL SUBPROOF

            i)      The number n is not odd.

                    SUBPROOF BY CONTRADICTION

                    (1)     ASSUMPTION:  The number n is odd.

                    (2)     n^3 + 1 = (an odd number)^3 + 1--per Step (1)
                                    = (an odd number) + 1
                                    = (an even number).

                    (3)     There exists a contradiction--per Steps (2) and a).  Q.E.D.

            ii)     The number n is even--per the Disjunctive Syllogism rule applied to Steps 2) and i), respectively.  Q.E.D.

    c)      n^2 – 1 = (an even number)^2 – 1--per Step b)
                    = (an even number) - 1
                    = (an odd number).  Q.E.D.

4) Si n^2 - 1 es impar, entonces n^3 + 1 es impar.

    DIRECT CONDITIONAL SUBPROOF

    a)      ASSUMPTION:  n^2 - 1 is odd.

    b)      The number n is even.

            DIRECT NON-CONDITIONAL SUBPROOF

            i)      The number n is not odd.

                    SUBPROOF BY CONTRADICTION

                    (1)     ASSUMPTION:  The number n is odd.

                    (2)     n^2 – 1 = (an odd number)^2 – 1--per Step (1)
                                    = (an odd number) - 1
                                    = (an even number)

                    (3)     There exists a contradiction--per Steps (2) and a).  Q.E.D.

            ii)     The number n is even--per the Disjunctive Syllogism rule applied to Steps 2) and i), respectively.  Q.E.D.

    c)      n^3 + 1 = (an even number)^3 + 1--per Step b)
                    = (an even number) + 1
                    = (an odd number).  Q.E.D.

5) El número n^3 + 1 es impar si y sólo si n^2 - 1 es impar--por los pasos 3) y 4). Q.E.D.