5 coches, 4 plazas de aparcamiento. Derivaciones y permutaciones con puntos fijos

Question

He encontrado un ejercicio de combinatoria:

En el aparcamiento de un edificio, hay cinco plazas de aparcamiento, con sus coches propietarios asignados a ellas. Un día sólo llegaron cuatro coches. ¿De qué manera pueden aparcar para que no haya ni un solo coche aparque en su plaza correspondiente?

Así que pienso de la siguiente manera: considera el coche perdido. Puede llegar y aparcar en su propia plaza de aparcamiento, hay $5\cdot D_4$ formas de hacerlo, donde $D_n$ es el número de desviaciones de $n$ -elemento establecido, o puede llegar y encontrar que su lugar ya está ocupado. Entonces toma el lugar de otro, con lo que se produce un desbarajuste completo del conjunto de 5 elementos. Así que el número total es $5\cdot D_4+D_5$ . ¿Estoy pensando correctamente?

El verdadero problema que tengo con esto es que lo encontré en alguna prueba sorpresa que algún profesor dio durante la clase de introducción a la probabilidad. ¿No hay una manera más fácil?

Answer 1

Los cuatro coches de los empleados pueden dejar libre la plaza del jefe y aparcar en falso en $D_4=9$ maneras, o utilizan el lugar del jefe, y entonces el jefe que viene después también estaría en un lugar falso. Esto puede ocurrir en $D_5=44$ maneras. De ello se desprende que hay $53$ formas de aparcar los cuatro coches en falso.

Answer 2

Vamos a dividirnos en casos según la plaza de aparcamiento que quede libre después de que los cuatro coches hayan aparcado. Numerar los coches $1-5$ y supongamos que el coche $5$ es el que no ha aparecido.

Caso $1$ : Plaza de aparcamiento $5$ se deja vacío.

En este caso hay $D_4=9$ formas para que los cuatro coches aparquen en las otras cuatro plazas.

Caso $2$ : Plaza de aparcamiento $1$ se deja vacío.

Aquí, si el coche $1$ parques en el lugar $5$ , entonces los otros tres coches se llenan de $D_3=2$ maneras. Si el coche $1$ parques en cualquiera de los otros tres puntos, puede comprobar que hay $3$ caminos coches $2-4$ puede rellenar, haciendo $9$ total. Para este caso, hay $2+9=11$ formas de aparcar los coches.

Dado que las plazas de aparcamiento $2-4$ son los mismos que la plaza de aparcamiento $1$ por simetría, obtenemos $11$ formas para cada uno de esos casos también. En total encontramos $9+4\cdot11=\boxed{53}$ formas de aparcar los coches.