Encontré el siguiente ejercicio interesante en un libro de texto:
Dejemos que $f$ : $\Bbb E \to \mathbb{C}$ sea un mapa holomorfo e inyectivo ("función de Schlicht"), donde $\Bbb E=\{z \in \Bbb C:|z|<1\}$ . $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}z^n$ .
Aunque tengo claro que $f$ es un difeomorfismo de $\Bbb E$ a $f(\Bbb E)$ (que está abierto) lo siguiente no está claro:
Si $\sum_{n=0}^{\infty} n|c_{n}|^2<\infty$ entonces $f(\Bbb E)$ es medible (como subconjunto de Borel de $\mathbb{C}$ ) y $\lambda_{2}(f(\Bbb E))=\pi\cdot\sum_{n=1}^{\infty}n|c_{n}|^2$ . ( $\lambda_{2}$ para la medida de Lebsegue en $\mathbb{C}$ )
Si pudierais darme una pista para demostrar la mensurabilidad del conjunto $f(\Bbb E)$ . Para la fórmula utilizo la fórmula de transformación, aún no la he terminado pero debería funcionar.
