Matriz definida positiva

Question

Dejemos que $A$ y $B$ ser ambos simétricos $ n \times n$ matrices, y $B \succ 0$ ; $U$ ser uno $n \times q$ matriz ortogonal de columnas ( $n > q$ ). Supongamos que $$ 0 \preceq U^{T} A U \preceq U^{T} B U,$$ tenemos la siguiente desigualdad $$UU^{T}AUU^{T} \preceq B.$$

Answer 1

No. Deja que $$ A=\begin{bmatrix}5 & 3 \\ 3 & 2\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}5 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} $$ (ambos son SPD). Dejemos que $U=[1,0]^T$ . Entonces $$ 0\leq 5=U^TAU\leq U^TBU=5. $$ Pero $$ B-UU^TAUU^T=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}, $$ que es indefinido.

Answer 2

Sí. Sólo hay que premultiplicar por $U^T$ y postmultiplicar por $U$ después de traer $B$ al otro lado. Si $C \leq 0$ entonces $U^T C U\leq 0$ también.